Шварцбург А. Б.

С метром по глобусуШварцбург А. Б. С метром по глобусу // Квант. — 1972. — № 12. — С. 26⁠—⁠33.‍‍

Попробуем нарисовать на поверхности глобуса путь корабля, который вышел из порта $A$‍‍ и должен прийти в порт $B$‍.‍ Этот путь можно проделать разными способами, и у каждого есть свои достоинства и недостатки. Если корабль спешит, то важно знать кратчайший путь между портами. Как известно, на плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая. Однако на сфере картина усложняется. Натягивая на глобусе гибкую нерастяжимую нить между точками $A$‍‍ и $B$‍‍ (начало и конец пути), можно найти такое положение нити, при котором длина $AB$‍‍ будет наименьшей. Однако ориентация нити относительно сетки меридианов и параллелей, нанесённой на глобус, будет различной в каждой точке вдоль всей длины $AB$‍.‍ Это значит, что проложить такой путь в открытом море нелегко.

Можно выбрать другой способ — например, двигаться всё время в одном направлении, пересекая все меридианы под одним и тем же углом. Тогда ориентироваться в море будет легче. Однако с помощью той же нити на глобусе легко убедиться, что такой путь будет длиннее, чем первый. Чтобы лучше представить себе каждый путь, рассмотрим одну вспомогательную задачу.

Движение вблизи полюса

На школьной карте меридианы и паралледи обычно изображаются в виде прямоугольной сетки. Однако для изображения районов, примыкающих к полюсам, используют и другую координатную сетку, в которой меридианы представляются лучами, выходящими из полюса $O$‍,‍ а параллели — окружностями с центром в полюсе. Допустим, что на такой карте нанесены точки $A$‍‍ и $B$‍.‍ Попробуем проложить траекторию $AB$‍,‍ не заботясь о протяжённости пути, но требуя, чтобы направление движения было постоянным. Иными словами, требуется начертить плоскую кривую, которая проходила бы через точки $A$‍‍ и $B$‍,‍ пересекая все лучи, выходящие из полюса, под некоторым постоянным углом $\alpha$‍‍ (рис. 1, а).

Координаты точек $A$‍‍ и $B$‍‍ считаем известными (т. е. известны их расстояния до полюса $\rho_A$‍‍ и $\rho_B$‍‍ и разность их долгот). Легко указать частный случай такой траектории, соответствующий $\rho_A=\rho_B$‍.‍ Линия, перпендикулярная ко всем лучам, выходящим из одной точки, является окружностью. Чтобы найти траекторию при произвольном угле $\alpha$‍,‍ рассмотрим два луча, образующие малый угол $\theta$‍.‍ Пусть один из них $OA=\rho_0$‍‍ соответствует значению $\theta=0$‍.‍ Откладывая на втором луче $ON=\rho_0=OA$‍‍ (рис. 1, б), заметим, что $\angle ANO\approx\dfrac\pi2$‍‍ (так как угол $\theta$‍‍ мал).

Пусть траектория пересекает луч $ON$‍‍ в точке $K$‍.‍ Тогда из треугольника $ANK$‍,‍ в котором $AN=\rho_0\theta$‍‍‍, найдём $NK=AN\ctg\alpha=\rho_0\ctg\alpha$‍.‍ Отсюда видно, что длина радиуса-вектора траектории $OK$‍‍ составляет $$ \rho_1=\rho_0-\rho_0\theta\ctg\alpha=\rho_0(1-\theta\ctg\alpha).\tag1 $$ Откладывая по часовой стрелке от $ON$‍‍ угол $\theta$‍‍ ещё раз, получим для радиуса-вектора $$ \rho_2=\rho_1(1-\theta\ctg\alpha)=\rho_0(1-\theta\ctg\alpha)^2.\tag2 $$

Повторяя эти выкладки $n$‍‍ раз, найдём $$ \rho_n=\rho_0(1-\theta\ctg\alpha)^n.\tag3 $$

Предположим, что радиус-вектор $\rho_0$‍,‍ за $n$‍‍ поворотов повернулся на угод $\lambda$‍,‍ тогда $\theta=\dfrac\lambda n$‍‍ и $$ \rho_n=\rho_0{\left(1-\dfrac\lambda n\ctg\alpha\right)^n}.\tag4 $$

Предположим, что мы, считая угол $\lambda$‍‍ постоянным, увеличиваем число «шагов» так, что величина одного «шага» $\theta=\dfrac\lambda n$‍‍ уменьшается. Если $n$‍‍ увеличивать неограниченно, то это будет соответствовать непрерывному перемещению точки по траектории. Переходя в формуле (4) к пределу при $n\to\infty$‍,‍ найдём (см. Л. Г. Лиманов «О числе $e$‍‍ и $n!$‍‍»‍ «Квант» № 5, 1972): $$ \rho=\lim\limits_{n\to\infty}\rho_n=\rho_0e^{-\lambda\ctg\alpha},\tag5 $$ где $e\approx2,72$‍‍ — известная в математике постоянная, знаменитое «число $e$‍‍», являющееся основанием натуральных логарифмов.

Мы получили уравнение кривой, которая пересекает все лучи, выходящие из центра, под углом $\alpha$‍.‍ Величину этого угла можно найти, зная координаты точек $A$‍‍ и $B$‍‍ и разность их долгот $\lambda$‍.‍ Из (5) найдём $$ \ctg\alpha=-\dfrac1\lambda\ln\dfrac\rho{\rho_0}.\tag6 $$

Пересекая каждый меридиан под углом $\alpha$‍,‍ корабль придёт из порта $A$‍‍ в порт $B$‍.‍

Из формулы (6) видно и другое важное свойство полученной кривой: угол между радиусами-векторами пропорционален логарифму их отношения $$ \lambda=-\dfrac{\ln\dfrac\rho{\rho_0}}{\ctg\alpha}. $$

Кривая (5) носит специальное название «логарифмическая спираль», а математик Яков Бернулли даже называл её «spira mirabilis», что по-латыни значит «чудесная спираль».

В этой вспомогательной задаче часть земной поверхности, на которой происходит движение, считалась плоскостью. Попробуем обобщить полученное решение (6) на случай сферической поверхности. Иными словами, попробуем провести на глобусе кривую, соединяющую точки $A$‍‍ и $B$‍‍ и пересекающую все меридианы под постоянным углом $\alpha$‍.‍ При этом нам пригодится тот же математический приём, который использовался во вспомогательной задаче.

Кривая Снеллиуса

Будем считать, что хотя бы одна из точек $A$‍‍ и $B$‍‍ не совпадает с полюсом сферы. (Если $A$‍‍ и $B$‍‍ — полюсы, то любой меридиан является искомой кривой.) Будем характеризовать положение каждой точки её широтой $\phi$‍,‍ отсчитываемой от экватора, и долготой $\lambda$‍.‍ Требуется провести кривую на сфере, выходящую из точки $A$‍‍ с координатами $\phi_A$‍,‍ $\lambda_A$‍‍ и приходящую в точку $B$‍‍ с координатами $\phi_B$‍,‍ $\lambda_B$‍‍ (см. рис. 2), так, чтобы все меридианы пересекались под одним и тем же углом $\alpha$‍.‍ Во вспомогательной задаче мы показали, что плоской кривой, обладающей таким свойством, является логарифмическая спираль.

Рассмотрим две близкие точки на сфере ($A$‍‍ и $N$‍)‍ (рис. 3), разность широт которых (дуга $AO$‍)‍ составляет $\Delta\phi$‍,‍ а разность долгот (дуга $ON$‍)‍ — $\theta$‍,‍ где $\theta$‍‍ — малый угол ($\theta\ll\lambda$‍).‍ Если обе эти точки лежат на интересующей нас кривой, то эта кривая образует равные углы $\alpha$‍‍ с меридианами, проходящими через эти точки. Рассмотрим криволинейный треугольник $AON$‍,‍ где дуга $AO$‍‍ совпадает с частью меридиана, дуга $ON$‍‍ — с частью круга широты $\phi_1$‍,‍ а $\angle OAN=\alpha$‍.‍ Обозначим значение координаты $\phi$‍‍ в точке $A$‍‍ через $\phi_A=\phi_0$‍.‍ Таким образом, $\phi_1=\phi_0+\Delta\phi$‍.‍

Можно строго доказать, что значения координат $\phi_0$‍‍ и $\phi_1$‍‍ связаны следующим образом: $$ \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_1}2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right)[1+\theta\ctg\alpha].\tag7 $$ (Строгий вывод этого равенства дан в Приложении I.)

Далее можно рассуждать так же, как и при решении вспомогательной задачи. Значение функции $\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)$‍‍ в точке с координатами $\phi_2$‍,‍ $2\theta$‍‍ составит $$ \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_2}2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_1}2\right)[1+\theta\ctg\alpha]=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right)[1+\theta\ctg\alpha]^2.\tag8 $$ После $n$‍‍ «шагов» получим для $\phi_n$‍‍ $$ \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_n}2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right)\left[1+\dfrac\lambda n\ctg\alpha\right]^n.\tag9 $$

Допустим теперь, что мы увеличиваем число «шагов» $n$‍‍ до бесконечности, приближаясь к точке $B$‍.‍ При этом $\phi_n\to\phi_B$‍.‍ Тогда величина каждого шага $\theta=\dfrac\lambda n$‍‍ стремится к 0, а число сомножителей в правой части (9) неограниченно растёт. Перейдя в формуле (9) к пределу при $n\to\infty$‍,‍ получим (по аналогии с формулой (5)): $$ \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_B}2\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left\{\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_A}2\right)\left[1+\dfrac\lambda n\ctg\alpha\right]^n\right\}= \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_A}2\right)e^{\lambda\ctg\alpha}.\tag{10} $$

Полученная кривая пересекает все меридианы на сфере под постоянным углом $\alpha$‍.‍ Величину этого угла легко найти из (10), зная широту каждого порта ($\phi_A$‍‍ и $\phi_B$‍)‍ и разность долгот $\lambda_B-\lambda_A=\lambda$‍‍ между ними: $$ \ctg\alpha=\dfrac1\lambda\ln\dfrac{\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_B}2\right)}{\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_A}2\right)}.\tag{11} $$

Кривая, выраженная формулой (10), носит специальное название «локсодрома», что можно перевести с латыни как «кособежная». Эту кривую исследовал в XVIII веке математик Снеллиус, известный ещё и тем, что он сформулировал закон преломления световых лучей на границе двух сред, известный каждому школьнику.

Локсодрома пересекает «наискось» меридианы шара и приближается к полюсу, «накручиваясь» на него, как спираль. Нетрудно показать, что вблизи полюса локсодрома близка к логарифмической спирали, о которой мы говорили во вспомогательной задаче. Действительно, вблизи полюса $\phi=90^\circ-\delta$‍,‍ где $\delta\ll90^\circ$‍.‍ Тогда $$ \dfrac{\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)}{\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right)}\approx\dfrac{\tg\left(\dfrac{\delta_0}2\right)}{\tg\left(\dfrac\delta2\right)}\approx\dfrac{~\dfrac{\delta_0}2~}{\dfrac\delta2}.\tag{10а} $$ Сравнивая формулы (10а) и (10), получим $$ \delta=\delta_0e^{-\lambda\ctg\alpha}.\tag{10б} $$

С другой стороны, расстояния от полюса до точек $A$‍‍ и $B$‍,‍ широты которых $\delta_A$‍‍ и $\delta_B$‍‍ равны соответственно $\rho_A=R\delta A$‍,‍ $\rho_B=R\delta_B$‍‍ ($R$‍‍ — радиус земного шара). (При написании этих равенств мы заменяем часть дуги меридиана хордой, соединяющей концы дуги.) Тогда из (10б) получаем: $$ \rho_B=\rho_Ae^{-\lambda\ctg\alpha}.\tag{10в} $$

Это равенство мы уже получили во вспомогательной задаче.

Локсодрома (10) описывает такой курс корабля в открытом море, при котором направление движения остаётся постоянным, поэтому ориентироваться в пути легко. Однако путь по локсодроме, как мы говорили выше, не является кратчайшим путём на сфере между двумя точками.

Геодезическая линия

Попробуем теперь найти кривую, которая является кратчайшим путём между двумя точками на шаре. Такую кривую называют геодезической линией, но она представляет интерес не только для геодезистов. Эта кривая важна и для мореплавателей, лётчиков, путешественников. Если упростить задачу и выбрать точки $A$‍‍ и $B$‍,‍ расположенные на одном круге широты $\phi$‍,‍ то может показаться, что кратчайшим путём между этими точками является дуга широтного круга. Однако такой ответ неверен. Чтобы убедиться в этом, сравним расстояния $S_1$‍‍ и $S_2$‍‍ между точками $A$‍‍ и $B$‍,‍ измеренные вдоль широтного круга ($S_1$‍)‍ и вдоль дуги большого круга ($S_2$‍)‍ (рис. 4). Если разность долгот точек $A$‍‍ и $B$‍‍ составляет $\lambda$‍,‍ то $$ \begin{align*} S_1&=R\lambda\cos\phi,\tag{12}\\ S_2&=RC,\tag{13} \end{align*} $$ где $C$‍‍ — радианная мера дуги $S_2$‍.‍

Можно доказать, что величина дуги $C$‍‍ (в радианах) равна $$ C=\arccos[\cos^2\phi'+\sin^2\phi'\cos\lambda], $$ где $\phi'=\dfrac\pi2-\phi$‍.‍ (Это доказано в приложении II.)

Докажем, что длина дуги большого круга $S_2$‍‍ не больше длины дуги широтного круга $S_1$‍‍ ($S_2\le S_1$‍),‍ т. е. докажем неравенство: $$ R\arccos[\cos^2\phi'+\sin^2\phi'\cos\lambda]\le R\lambda\sin\phi'.\tag{14} $$

Равенство в (14) возникает лишь при $\phi'=90^\circ$‍‍ или $\phi=0$‍,‍ т. е. когда широтный круг совпадает с большим кругом.

Обе части неравенства (14) положительны. Будем считать, что разность долгот между точками $A$‍‍ и $B$‍‍ заключена в интервале $0\le\lambda\le\pi$‍.‍ Для $0\le\lambda\le\pi$‍‍ $\cos\lambda$‍‍ — убывающая функция.

Поэтому из неравенства (14) следует неравенство: $$ \cos^2\phi'+\sin^2\phi'\cos\lambda\ge\cos(\lambda\sin\phi').\tag{15} $$

Используя тождество $\cos\lambda=1-2\sin^2\dfrac\lambda2$‍,‍ приведём неравенство (15) к виду $$ \sin^2\phi'\sin^2\dfrac\lambda2\le\sin^2\left(\dfrac\lambda2\sin\phi'\right).\tag{16} $$

Умножив и разделив это неравенство на положительную величину $\left(\dfrac\lambda2\sin\phi'\right)^2$‍‍‚ получим: $$ \left(\dfrac{\sin\dfrac\lambda2}{\dfrac\lambda2}\right)^2\le\left(\dfrac{\sin\left(\dfrac\lambda2\sin\phi'\right)}{\dfrac\lambda2\sin\phi'}\right)^2.\tag{17} $$

Если теперь построить с помощью тригонометрических таблиц график функции $y=\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2$‍‍‚ то будет видно, что эта функция монотонно возрастает от $y=\left(\dfrac2\pi\right)^2\lt1$‍‍ до 1 при убывании $x$‍‍ от $\dfrac\pi2$‍‍ до 0. Так как $\dfrac\lambda2\sin\phi'\le\dfrac\lambda2$‍,‍ то неравенство (17) всегда выполнено, а значит, выполнено и исходное неравенство (14). Следовательно, дуга большого круга короче дуги широтного круга, соединяющей те же две точки.

Можно доказать, что и при произвольном расположении двух точек на шаре кратчайшее расстояние между ними определяется по дуге большого круга, проходящей через эти точки. Иными словами, геодезической линией на шаре является дуга большого круга.

Однако ориентироваться при движении по дуге большого круга трудно — угол $\alpha$‍‍ между направлением движения и меридианом всё время меняется.

Таким образом, пути по локсодроме и по дуге большого круга имеют свои достоинства и недостатки. Выбирая между этими путями, часто поступают так же, как и при движении по плоскости, когда вместо движения по сложной плоской кривой намечают путь по ломаной, все вершины которой лежат на нужной кривой.

Аналогично, при движении по сфере намечают на дуге большого круга, соединяющей пункт отправления и пункт назначения, несколько точек, и от точки к точке движутся по локсодромам.

Приложение I

Точку на сфере удобно характеризовать не широтой $\phi$‍,‍ а дополнительным углом $\phi'$‍‍ $$ \phi'=90^\circ-\phi.\tag{I—1} $$

Удобство такого описания связано с тем, что функция $\ctg\left(\dfrac{90^\circ-\phi}2\right)$‍‍ обладает важным свойством. Вычислим, используя формулу для тангенса суммы двух углов, приращение этой функции при изменении $\phi$‍:‍ $$ \begin{gather*} \ctg\left(\dfrac{90^\circ-\phi}2\right)=\tg\left(\dfrac{90^\circ+\phi}2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right);\tag{I—2}\\ \Delta\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi+\Delta\phi}2\right)-\tg\left(45^\circ+\dfrac\pi2\right)=\\=\dfrac{\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)+\tg\dfrac{\Delta\phi}2}{1-\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\tg\dfrac{\Delta\phi}2}-\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)=\dfrac{\tg\dfrac{\Delta\phi}2}{\cos^2\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\left[1-\tg\dfrac{\Delta\phi}2\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\right]}.\tag{I—3} \end{gather*} $$

Используя тождество $\dfrac1{\cos\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)}=2\sin\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\cos^{-1}\phi$‍,‍ получим $$ \Delta\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)=\dfrac{2\tg\dfrac{\Delta\phi}2\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)}{\left[1-\tg\dfrac{\Delta\phi}2\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\right]\cos\phi}.\tag{I—4} $$

Рассмотрим случай, когда приращения $\Delta\phi$‍‍ малы, так что $\left|\tg\dfrac{\Delta\phi}2\right|\cdot\left|\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)\right|\ll1$‍.‍ Тогда знаменатель в формуле (I⁠—⁠4) можно считать приближённо равным 1, а $\tg\dfrac{\Delta\phi}2$‍‍ можно заменить на $\dfrac{\Delta\phi}2$‍.‍ Тогда из (I⁠—⁠3) и (I⁠—⁠4) находим: $$ \Delta\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)=\dfrac{\Delta\phi}{\cos\phi}\cdot\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right).\tag{I—5} $$

Формула (I⁠—⁠5) показывает, что функция $\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)$‍‍ действительно обладает важным свойством: малые приращения этой функции пропорциональны значению самой функции.

Найдём коэффициент пропорциональности в формуле (I⁠—⁠5). Так как радиус круга широты равен $$ r=R\cos\phi, $$ то длина дуги $ON$‍‍ составляет (см. рис. 3) $$ ON=R\theta\cos\phi. $$ Здесь $R$‍‍ — радиус сферы. Аналогично, длина дуги $OA$‍‍ равна $$ OA=R\,\Delta\phi. $$ Так как в треугольнике угол $\angle AON=\dfrac\pi2$‍,‍ то для тангенса угла $\alpha$‍‍ можно записать $$ \tg\alpha=\dfrac{R\theta\cos\phi}{R\,\Delta\phi}. $$ Из этого соотношения находим интересующее нас выражение для коэффициента $\dfrac{\Delta\phi}{\cos\phi}$‍‍ в формуле (I⁠—⁠5): $$ \dfrac{\Delta\phi}{\cos\phi}=\theta\ctg\alpha. $$

Подставляя это в (I⁠—⁠5), можно вычислить приращение функции $\tg\left(45^\circ+\dfrac\phi2\right)$‍‍ при переходе из точки $A$‍‍ в точку $N$‍:‍ $$ \tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_1}2\right)=\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right)+\Delta\tg\left(45^\circ+\dfrac{\phi_0}2\right), $$ в результате чего получаем формулу (7).

Приложение II. Одна теорема из сферической тригонометрии

Так называется специальный раздел тригонометрии, в котором изучаются свойства треугольников, образованных дугами на поверхности сферы. В частности, для нашей задачи удобно рассмотреть треугольник $NAB$‍,‍ образованный дугами меридианов $NA$‍‍ и $NB$‍,‍ проходящих через полюс сферы $N$‍,‍ и дугой широтного круга $AB$‍‍ (см. рис. 4). В треугольнике $NAB$‍‍ углы $NAB$‍‍ и $NBA$‍‍ — прямые, так как линии меридианов перпендикулярны широтным кругам. Точки $A$‍‍ и $B$‍‍ характеризуются одинаковой широтой $\phi$‍.‍ Если отсчитывать $\phi$‍,‍ как принято в географии, от экватора, то дуги $NA$‍‍ и $NB$‍‍ содержат по $90-\phi$‍‍ градусов. Пусть дуга $AB$‍‍ (разность долгот точек $A$‍‍ и $B$‍)‍ содержит $\lambda$‍‍ градусов. Если провести через точки $A$‍‍ и $B$‍‍ большой круг, то дуга $AB$‍‍ большого круга содержит $C$‍‍ градусов. Если точки $A$‍‍ и $B$‍‍ лежат на экваторе, то большой круг совпадает с кругом широты и $\lambda=C$‍.‍ В остальных случаях дуги $\lambda$‍‍ и $C$‍‍ не равны. Ограничимся случаем $\lambda\le\pi$‍,‍ так как при $\lambda\gt\pi$‍‍ можно, сменив направление движения на обратное, искать кратчайший путь между точками с разностью долгот $\lambda\lt\pi$‍.‍ Нам нужно получить формулы, позволяющие по широте $\phi$‍‍ и разности долгот $\lambda$‍‍ находить длину дуги $C$‍.‍ Для этого проведём хорду $AB$‍‍ и найдём её длину двумя способами: из треугольника $OAB$‍,‍ где $O$‍‍ — центр сферы, и из треугольника $O'AB$‍,‍ где $O'$‍‍ — точка пересечения оси $ON$‍‍ с плоскостью широтного круга, проходящего через $A$‍‍ и $B$‍.‍ Если радиус сферы равен $R$‍,‍ то из треугольника $OO'A$‍‍ найдём $$ O'A=O'B=R\sin\phi'. $$

Тогда по теореме косинусов получим из треугольника $AO'B$‍:‍ $$ AB^2=O'A^2+O'B^2-2O'A\cdot O'B\cos\lambda=2R^2\sin^2\phi'-2R^2\sin^2\phi'\cos\lambda.\tag{II—1} $$

Из треугольника $OAB$‍‍ по той же теореме найдём $$ AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos\lambda=2R^2-2R^2\cos C;\tag{II—2} $$ приравнивая выражения (II⁠—⁠1) и (II⁠—⁠2), получим нужную нам формулу: $$ \cos C=\cos^2\phi'+\sin^2\phi'\cos\lambda.\tag{II—3} $$

Так как широта $\phi$‍‍ нам известна, то формула (II⁠—⁠3) устанавливает связь между величиной дуги большого круга $C$‍‍ и разностью долгот $\lambda$‍‍ (здесь, конечно, $C$‍‍ и $\lambda$‍‍ выражены в радианах); как и следовало ожидать, на экваторе, т. е. при $\phi=0$‍,‍ $\phi'=90^\circ$‍,‍ формула (II⁠—⁠3) даёт $\cos C=\cos\lambda$‍,‍ т. е. $C=\lambda$‍‍ (так как $C\le\pi$‍;‍ $\lambda\le\pi$‍).‍