Розенфельд Б. А.

‍,

Халамайзер А. Я.

Творец новой геометрииРозенфельд Б. А., Халамайзер А. Я. Творец новой геометрии // Квант. — 1972. — № 12. — С. 6⁠—⁠15, Обложка, Обложка (с. 2).‍‍

---

К 180-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского

—Каждый из них произвёл революцию в научных идеях, — сказал английский учёный Вильям Клиффорд о Копернике и Лобачевском, — и обе эти революции имеют одно и то же значение. Это революции в нашем понимании космоса.

Неевклидова геометрия, открытая Николаем Ивановичем Лобачевским, нанесла первый удар вековечным идеям незыблемости геометрических законов, сформулированных Евклидом. Затем последовал новый удар: известный опыт Майкельсона по определению скорости света. И наконец, теория относительности Эйнштейна окончательно разрушила представления учёных об абсолютности пространства. Нет абсолютного пространства, одинакового для всех, сказал Эйнштейн, так же как нет и абсолютного времени, одинакового для всех.

И как Солнечная система Коперника объяснила загадку мироздания, мучавшую астрономов, так и геометрия Лобачевского решила проблему, над которой веками бились геометры.

— Задача, которую решил Лобачевский, была задачей, которую ставили на очередь математика и философия того времени, — говорил профессор А. В. Васильев, председатель Казанского физико-математического общества. — Чтобы усмотреть эту задачу, нужна была гениальность Гаусса и Лобачевского, нужны были настойчивость и трудолюбие нашего знаменитого соотечественника. Для нас всегда останется предметом высокой патриотической гордости, что эту задачу решил учёный, живший в Казани, вдалеке от центров умственной жизни.

1 декабря 1792 года у мелкого нижегородского чиновника Ивана Максимовича Лобачевского родился сын, «коего при святом крещении нарекли Николаем». Десять лет спустя Николая вместе с братьями Александром и Алексеем зачислили на казённое разночинское содержание в Казанскую гимназию.

Уже в гимназии проявились незаурядные способности Николая к наукам вообще, к математике и физике в частности. Немалую роль в развитии таланта Лобачевского сыграл молодой преподаватель Г. И. Карташевский.

С 1807 года Николай — студент Казанского университета. Профессора удивляются лёгкости, с которой он воспринимает науки, их поражают способности пятнадцатилетнего юноши, оригинальность его мышления. Николай становится «гордостью университета». Но мальчишка остаётся мальчишкой: то он запускает ракеты, то едет по городскому саду верхом на корове, то на спор перепрыгивает через полного и страдающего одышкой профессора Никольского. Он «являет признаки безбожия». Это серьёзное преступление обсуждается на совете университета, вольнодумца собираются отдать в солдаты. Лишь заступничество профессоров Литтрова и Бартельса спасает талантливого юношу от солдатской шинели.

В 1811 году после блестящего окончания университета Лобачевский — магистр, с 1814 года он — адъюнкт‍, а с 1816 — профессор. В ноябре 1820 года его избирают деканом физико-математического факультета, в 1827 году — ректором университета. На этом посту Лобачевский оставался почти 20 лет.

В течение многих лет Лобачевский заведовал библиотекой университета, подбирал и закупал учебную и научную литературу. С 1822 года он был членом, а с 1825 года — председателем строительного комитета. Не довольствуясь приглашением лучших архитекторов того времени, Лобачевский сам серьёзно изучал архитектуру. Под его руководством были построены и реконструированы многие учебные здания, библиотека, астрономическая обсерватория, клиника, типография.

В тяжёлое время пришёл Лобачевский к руководству университетом. Многие профессора прочно стояли на позициях божественного сотворения мира.

— ...Из святого писания открывается, что свет солнечный есть отблеск лика божьего. А как он распространяется, через волнение или другим образом, о том святое писание ясно не говорит. Согласнее со святым писанием думать, что свет есть орган, через который господь, живущий в мире неприступном, посылает в мир подлунный духа своего... — записано в тетради одного из профессоров.

По этой тетради читались лекции студентам!

— Гипотенуза, милостью божией, — начинал лекции по геометрии профессор Никольский. Так его и прозвали студенты: «Гипотенуза милостью божией».

Недавний попечитель учебного округа мракобес М. Л. Магницкий, пытавшийся (но, к счастью, не сумевший) добиться закрытия университета, составил особую инструкцию, обязывающую должностных лиц доносить о всякой «крамоле»; 9 передовых профессоров были изгнаны.

Лобачевский считал, что школа и университет должны давать молодым людям знания, определённые моральные устои, делать их полезными и жизнерадостными членами общества. Уже через год после вступления в должность, 17 июля 1828 года ректор Лобачевский произносит свою знаменитую речь «О важнейших предметах воспитания».

— В это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов, без всякой мысли. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено праздным умом... Спрашивайте природу! Она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать непременно и удовлетворительно.

Новому ректору удалось избавить университет от бездарных преподавателей, считавших солнечный свет отблеском лика божьего. Вскоре был учреждён печатный орган — «Учёные записки Казанского университета», издающийся и по сей день. Казанский университет становится первоклассным учебным заведением.

В архивах университета сохранилось прошение Л. Н. Толстого о разрешении допустить его к приёмным экзаменам. Здесь учились знаменитые химики Зинин и Бутлеров. Позднее университет закончил Илья Николаевич Ульянов. А в конце XIX века студентом Казанского университета становится Владимир Ильич Ульянов-Ленин.

Жарким летом 1830 года к Казани приближалась холера. Ещё только прослышав о ней, многие жители уезжали из города; оставшиеся запасались продуктами и старались не выходить за ворота. Но опасность была уже близка.

Первые же случаи заболевания насторожили Лобачевского. Он распорядился:

• те и другие ворота — на запор;
• вдоль заборов — охрану;
• впускать — только с его разрешения и после окуривания хлором;
• химикам — заготовить хлор и хлорную известь.

Затем Лобачевский отправился на соседнюю улицу к губернатору, барону Пирху.

— Что, холера? — удивился барон. — Из Симбирска? Но мы ждали её, господин Лобачевский, сверху, из Нижнего Новгорода.

— Я считаю необходимым, ваше превосходительство, немедленно оцепить пристани, поставить кордоны, изолировать город... — И Лобачевский развернул перед губернатором подробный план борьбы с надвигающейся опасностью.

— Да вы что? — не дослушал Пирх. — Хотите, чтоб был холерный бунт? Город изолировать? А подати кто собирать будет? А в солдаты набирать, воевать кто будет?

Лобачевскому оставалось только распрощаться.

Срочно собравшийся совет университета передал ректору всю полноту власти. Лобачевский объявил карантин. Все студенты, преподаватели, служащие переселились на территорию университета. И всё же в первые четыре дня умерло 12 человек. По приказанию ректора трупы умерших обливали хлорной известью, одежду, постель и другие личные вещи немедленно сжигали. На пятый день заболевания прекратились. За доставкой и хлорированием воды Лобачевский наблюдал лично. И хотя в городе холера выкосила чуть ли не половину населения, из 560 человек, живших на территории университета, никто больше не пострадал.

Не меньшую энергию проявил ректор и в августе 1842 года, когда в Казани свирепствовал пожар. В городе выгорели целые кварталы, от множества зданий остались груды головешек. Загорелась университетская библиотека, недавно построенная обсерватория. Лобачевский не отлучался с пожара, сам руководил спасательными работами. Обсерватория сгорела, но ценное оборудование удалось спасти; библиотеку отстояли от огня. Однако дом, принадлежавший Лобачевскому, сгорел дотла; сгорела и университетская квартира, где жил Николай Иванович; в огне погибло имущество Лобачевских и бесценные рукописи.

Заслуги Лобачевского перед Казанским университетом трудно переоценить. Рассуждение его «о важнейших предметах воспитания» оказалось весьма ценным вкладом в педагогическую науку. Но смелость суждений и прямой, независимый характер нравятся не всем. Против Лобачевского начались происки.

В 1846 году Николай Иванович был назначен помощником попечителя Казанского учебного округа, а попечителем вскоре стал малообразованный казачий генерал Молоствов, который, нимало не смущаясь, заявил министру народного просвещения Носову:

— Моему помощнику совершенно нечего делать...

Отстранение от активной административной и педагогической деятельности вызвало у Лобачевского резкий упадок сил. В 55 лет он почувствовал себя немощным и больным. Вскоре он лишился даже номинальной должности помощника Молоствова, а с нею — и жалованья. Появились материальные затруднения.

Лобачевский стал слепнуть: сказались непомерные ночные бдения в молодости. Последние годы жизни Николай Иванович не мог самостоятельно передвигаться. Но он верил в великое будущее своего открытия, жажда деятельности не покидала его: будучи слабым и больным, почти ничего не видя, он диктовал своё научное завещание — «Пангеометрию», которая вышла из печати незадолго до его смерти.

Ещё в молодости Лобачевский заинтересовался основаниями геометрии и подверг критике «Начала» Евклида. Особое внимание привлёк так называемый V постулат:

— Всякие две прямые, которые при пересечении с третьей образуют внутренние односторонние углы, дающие в сумме меньше двух прямых, при продолжении обязательно пересекаются.

На протяжении многих веков геометры пытались доказать пятый постулат, как теорему. Но каждый из них неявно вводил какое-то «очевидное» свойство:

...Геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, — считал Посидоний (Рим, I век до н. э.).

...Две приближающиеся прямые обязательно пересекутся, — утверждал Омар Хайям (Средняя Азия, XI век).

...Для всякой фигуры можно построить ей подобную, — был убеждён Джон Валлис (Англия, XVII век).

Алексис-Клод Клеро (Франция, XVIII век) строил теорию параллельных линий, основываясь на существовании прямоугольника; Фаркаш Бойяи (Венгрия, конец XVIII — начало XIX века) доказывал пятый постулат, исходя из того, что через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность.

Но все эти предложения оказались равносильными пятому постулату Евклида или даже более сильному постулату: через точку вне некоторой прямой можно провести в их плоскости одну и только одну прямую, не пересекающую данной. А последнее утверждение равносильно тому, что сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$‍.‍

Ещё в 1823 году Лобачевский подготовил к печати первый составленный им курс геометрии. Пытаясь оторваться от Евклида, он построил в первой половине книги «абсолютную геометрию» — не зависящую от постулата о параллельных. Он был убеждён, что геометрия, в которой верны все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных, — непротиворечива. Важнейшую роль в этом выводе сыграло критическое отношение Лобачевского к убеждению о врождённости наших геометрических знаний: ведь из этого убеждения вытекала бы единственность геометрической системы.

Ученик великого Эйлера, академик Николай Иванович Фусс, не разобравшись в революционной сущности идей Лобачевского, дал о работе резко отрицательный отзыв. Особенно возмутило академика... введение метра как единицы измерения длины и деление круга на 400 градусов, а не на 360.

— Сие разделение выдумано во время французской революции, — пишет Фусс в рецензии, — но сия новизна нигде принята не была по причине очевидных неудобств.

Рецензия эта ошибочна вдвойне: гениальность идей Лобачевского оказалась недоступной не только Фуссу, но и многим талантливым умам того времени, а метр прочно завоевал права гражданства.

Но разгромная рецензия Николая Ивановича Фусса не испугала Николая Ивановича Лобачевского. Он продолжает развивать свои идеи и в последующие годы делает гениальный по простоте шаг: отказывается от пятого постулата, господствовавшего в умах чуть не две тысячи лет и не вызывавшего никаких сомнений ни у предшественников, ни у современников.

Лобачевский предположил, что через данную вне прямой точку можно провести в их плоскости не менее двух прямых, которые не пересекутся с данной прямой $AB$‍.‍

Из этого совершенно нелепого на первый взгляд допущения Лобачевский стал делать дальнейшие выводы. И не пришёл ни к какому противоречию! Более того, получил стройную, логичную геометрическую систему, законченное целое, которое он назвал «воображаемой геометрией» — по аналогии с мнимыми числами, которые он тоже называл воображаемыми; если мнимые числа — наиболее общие, для которых справедливы законы обычной арифметики, то «воображаемая геометрия» — наиболее общая геометрическая система, в которой выполняются все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных. И как действительные числа являются частным случаем множества комплексных чисел, так и привычная геометрия Евклида является частным случаем общей геометрической системы.

«Воображаемая геометрия» существенно отличается от привычной геометрии Евклида.

Начнём с того, что сумма углов треугольника в ней всегда меньше $180^\circ$‍;‍ что множество всех точек плоскости, лежащих в одной полуплоскости и равноудалённых от заданной в ней прямой — «базы», — вовсе не прямая, а особая линия, называемая эквидистантой; что через три точки, не лежащие на прямой, можно провести или окружность, или эквидистанту, или промежуточную между ними линию — «орицикл».

Через точку, взятую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Наконец, в этой геометрии не существует подобных многоугольников.

Лобачевский рассматривал и геометрию пространства. Вращая окружность, орицикл и эквидистанту вокруг одной из ортогональных им прямых, можно получить в первом случае сферу, во втором — орисферу, в третьем — эквидистантную поверхность, т. е. геометрическое место точек пространства, равноотстоящих от плоскости. Оказалось, что геометрия на сфере совпадает с геометрией евклидовой сферы, геометрия на орисфере совпадает с геометрией евклидовой плоскости, а геометрия на каждой из двух полостей эквидистантной поверхности — того же типа, что и геометрия плоскости Лобачевского.

Лобачевский нашёл тригонометрические соотношения в плоских треугольниках в открытой им геометрии. Далее, он показал, что эти соотношения могут быть получены из формул сферической тригонометрии.

Геометрия Лобачевского. обладает и другими свойствами, аналогичными сферической геометрии; в частности, площадь треугольника на плоскости Лобачевского выражается через его углы (в радианной мере) по формуле; совпадающей с формулой $$ S=r^2(A+B+C-\pi) $$ для сферических треугольников, если считать радиус сферы $r$‍‍ чисто мнимым.

Евклидову геометрию можно рассматривать как предельный случай либо сферической геометрии, либо геометрии Лобачевского при стремлении $r$‍‍ к бесконечности. Более общий характер открытой им геометрии Лобачевский подчёркивал и названием «Пангеометрия» — «всеобщая геометрия», которое он дал ей в своей последней работе.

Установив основы новой геометрии и тригонометрические соотношения в треугольниках этой геометрии, Лобачевский ввёл в этой геометрии координаты и решил большое число задач аналитической геометрии и задач на вычисление площадей и объёмов, с помощью которых он впервые вычислил целый ряд определённых интегралов.

Лобачевский пытался установить экспериментально, какая геометрия имеет место в реальном мире — евклидова или «воображаемая». Для этого он вычислил сумму углов треугольника, вершинами которого были две диаметрально противоположные точки земной орбиты и одна из неподвижных звёзд. Найдя, что отклонение этих сумм от $\pi$‍‍ не выходит за пределы ошибки наблюдения, Лобачевский пришёл к выводу, что геометрию реального мира можно считать евклидовой, однако он надеялся, что отклонение суммы углов треугольников от $\pi$‍‍ можно будет обнаружить при рассмотрении космических треугольников больших размеров.

Одновременно с Лобачевским неевклидову геометрию открыли ещё несколько математиков. Ещё в последних годах XVIII века к идее о неевклидовой геометрии пришёл великий Гаусс, продолжавший заниматься этими вопросами в течение нескольких десятилетий, но не опубликовавший своих результатов. Несколько позже к геометрии Лобачевского пришёл Янош Бойяи. Он изложил своё открытие в приложении к математическому сочинению отца — Фаркаша Бойяи, — опубликованному в 1832 году. Так как Гаусс не опубликовал своего открытия, а Бойяи опубликовал его позже Лобачевского, приоритет признаётся за Лобачевским.

23 февраля 1826 года на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета тридцатитрёхлетний Лобачевский сделал доклад о своём открытии и просил рекомендовать изложенное на французском языке сочинение к опубликованию.

Присутствовавшие на заседании не смогли разобраться в работе; была назначена комиссия из трёх специалистов для детального ознакомления с представленным сочинением. Однако ни адъюнкт Николай Дмитриевич Брашман, впоследствии крупный учёный, один из создателей Московского математического общества, ни профессор Александр Яковлевич Купфер, ни старый друг и однокашник Николая Ивановича, видный учёный того времени Иван Михайлович Симонов не смогли понять глубочайшего философского значения новой геометрии. Проходил месяц за месяцем, год за годом, отзыва от учёной комиссии не поступало, и бесценная работа была сдана в архив.

Лишь в 1829 году в университетском журнале «Казанский вестник» появилось первое изложение открытия Лобачевского — статья «О началах геометрии». Ещё несколько статей и мемуаров с изложением основных результатов Лобачевского было опубликовано в 30-х годах. В 1840 году Лобачевский издал в Берлине на немецком языке систематическое изложение своего открытия — книгу «Геометрические исследования по теории параллельных линий». Эта книга была замечена Карлом Фридрихом Гауссом, «королём математиков» того времени. Он был единственным авторитетным человеком в мире, кто мог оценить гениальность открытий Лобачевского — и оценил их — по достоинству.

— Как мне сказали, — пишет Гаусс в 1841 году одному из своих учеников, — труды Казанского университета, написанные на русском языке, содержат массу его сочинений... Мною овладело желание прочесть побольше сочинений этого остроумного математика.

В возрасте 63 лет «король математиков» начинает изучать русский язык.

— Я начинаю читать по-русски с некоторой беглостью и извлекаю из этого большое удовольствие, — пишет позднее Гаусс.

По инициативе Гаусса Лобачевский избран членом-корреспондентом Гёттингенского Королевского общества. В Дипломе, присланном в Казань, его называют «одним из превосходнейших математиков русского государства». Однако и «король математиков» не выступил в печати с публичным признанием заслуг Лобачевского, ибо он боялся быть непонятым современниками. При жизни Лобачевского лишь один из его коллег — профессор Казанского университета П. И. Котельников — публично объявил о большом научном и познавательном значении его открытия.

Признание пришло лишь через несколько лет после смерти Николая Ивановича, благодаря работам Эудженио Бельтрами (Италия) и, позднее, Феликса Клейна (Германия) и Анри Пуанкаре (Франция).

В нашем «привычном» евклидовом пространстве Бельтрами нашёл так называемые псевдосферические поверхности. На обложке нашего журнала изображена часть такой поверхности. На них осуществляется геометрия Лобачевского и имеют место установленные им зависимости между сторонами и углами геодезического‍ треугольника, между радиусом круга и его площадью и т. п.

Лобачевский был автором ряда работ в других областях математики. Одни работы были связаны с его геометрией, — например, работа о вычислении определённых интегралов, работа о вероятной ошибке наблюдений при измерении суммы углов треугольника с очень большими сторонами. Другие работы относятся к алгебре и анализу: «Алгебра или исчисление конечных» (1834 г.), «Об исчезании тригонометрических строк» (1834 г.), «О сходимости бесконечных рядов» (1841 г.) и др. Лобачевский одним из первых дал общее определение функции, сформулировал понятия непрерывности и дифференцируемости функции и установил различие между этими понятиями, которые до него часто смешивали.

Но основной заслугой Лобачевского, ценнейшим вкладом в сокровищницу мировой науки является преодоление привычных и интуитивно неопровержимых представлений — отказ от пятого постулата и создание обобщённой геометрии, в которой геометрия Евклида является лишь предельным частным случаем. Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной математики.

— Идеи нашего гениального соотечественника, которые сто лет назад казались недопустимым парадоксом, — говорит видный советский геометр проф. П. К. Рашевский, — теперь, широко развитые и обобщённые, являются одним из краеугольных камней современной науки.

Литература

1. Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — М., 1950.
2. Каган В. Ф. Великий русский учёный Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке. — М.—Л., 1948.
3. Норден А. П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. — М., 1953.
4. Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. — М., 1955.
5. Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. II. — М., 1956.
6. Заботин И. П. Лобачевский. — М., 1956.
7. Ливанова А. Три судьбы. Постижение мира. — М., 1969.
8. Колесников М. С. Лобачевский. — (Серия ЖЗЛ). — М., 1965.
9. Тарджеманов Д. А. Юность Лобачевского. — Казань, 1968.
10. Каган В. Ф., Рыбкин Г. Ф. Лобачевский // БСЭ. — Т. 25.
11. Александров А. Д. Геометрия Лобачевского // БСЭ. — Т. 25.