Текст статьиОсятинский С. Д., Румшиский Л. З. Экспонента // Квант. — 1972. — № 12. — С. 19—25.
В этом номере мы публикуем давно обещанную статью об экспоненте (см. «Квант» № 1, 1971, № 1, 1972). В первой части статьи рассказывается о математическом определении экспоненты. По новой программе экспонента будет изучаться в 10 классе. Поэтому целью статьи не является строгое определение всех вводимых понятий. Цель статьи значительно скромнее: объяснить, что такое экспонента и проиллюстрировать её применение в физике. Физическим примерам и посвящена вторая часть статьи.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Показательные функции и, в частности, экспоненты встречаются во многих задачах, где скорость изменения некоторой величины пропорциональна уже достигнутому значению самой этой величины. Примером может служить прирост населения какой-либо страны: когда мы говорим, что прирост населения составляет, скажем, 2% в год, то тем самым мы утверждаем, что скорость этого прироста пропорциональна численности населения. В этом примере скорость изменения положительна. Можно привести пример и с отрицательной скоростью. Рассмотрим некоторое количество радиоактивного вещества. Распад атомов в нём совершается случайным образом, но экспериментально установлено, что среднее количество атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов. Поэтому количество рассматриваемого радиоактивного вещества убывает, и скорость убывания пропорциональна имеющемуся количеству вещества.
С математической точки зрения все процессы, подобные указанным выше, описываются одинаковым образом; к этому описанию мы и приступаем.
Обозначим через $y(t)$ значение рассматриваемой величины в момент времени $t$. Через $\Delta y$ мы обозначим изменение величины $y$ за малый промежуток времени$\Delta t$ от $t$ до $t+\Delta t$, т. е.
$$
\Delta y=y(t+\Delta t)-y(t).
$$
Скорость изменения величины $y$ можно приближённо представить отношением $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$. Если для величины $y$ скорость её изменения в момент времени $t$ пропорциональна достигнутому значению $y(t)$ этой величины, то мы приходим к соотношению — $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\approx ky$ или
$$
\htmlClass{color--red}{\Delta y\approx ky\cdot\Delta t.}\tag*{\htmlClass{color--red}{(1)}}
$$
где $k$ — коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент может быть как положительным числом (например, в процессе роста численности населения), так и отрицательным (например, в процессе радиоактивного распада). Приближённое соотношение (1) надо понимать в том смысле, что относительная ошибка этого соотношения убывает с уменьшением промежутка времени $\Delta t$, т. е. что при стремлении $\Delta t$ к нулю соотношение $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}\approx ky$ становится всё более точным.
Теперь поставим вопрос: какой же функциональной зависимостью можно описать процесс, обладающий свойством (1)?
Среди элементарных функций, изучаемых в школе, мы находим одну функцию, обладающую нужным свойством — это показательная функция $y=a^t$. В самом деле, изменение (или приращение) этой функции $\Delta y=a^{t+\Delta t}-a^t$ в силу основного свойства показательной функции $a^{t+\Delta t}=a^t\cdot a^{\Delta t}$ можко представить в виде произведения двух сомножителей $\Delta y=a^t(a^{\Delta t}-1)$. Первый множитель $a^t$ совпадает со значением функции $y=a^t$, а второй множитель $a^{\Delta t}-1$ зависит только от приращения аргумента $\Delta t$. Можно показать, что при малых значениях $\Delta t$ разность $a^{\Delta t}-1$ приближённо пропорциональна $\Delta t$. Этот факт эквивалентен тому, что график показательной функции $y=a^t$ имеет касательную в точке пересечения этого графика с осью ординат (рис. 1).
Рис. 1
Отрезок $a^{\Delta t}-1$ приближённо равен отрезку $\Delta t\cdot\tg\phi$, где $\phi$ — угол наклона касательной к оси абсцисс:
$$
a^{\Delta t}-1\approx\Delta t\cdot\tg\phi,\tag2
$$
причём относительная ошибка приближённого равенства (2) уменьшается с уменьшением $\Delta t$ и стремится к нулю при $\Delta t\to0$ (вспомним, что касательная определяется как предельное положение секущей). Приближённое равенство (2) остаётся справедливым и для отрицательных значений $\Delta t$, малых по абсолютной величине.
Но отсюда следует, что приращение показательной функции $y=a^t$ при малых $\Delta t$ приближённо равно
$$
\Delta y\approx y\cdot\Delta t\cdot\tg\phi.\tag3
$$
Соотношение (3) аналогично соотношению (1) и полностью совпадает с ним, если выбрать такое основание $a$, чтобы для него значение $\tg\phi$ совпало с коэффициентом пропорциональности $k$.
Однако при описании процессов значительно удобнее пользоваться одним и тем же основанием, а коэффициент пропорциональности $k$ учитывать явным образом в показателе степени. Для этого выбираем такое основание, при котором $\tg\phi=1$; тогда график показательной функции пересечёт ось ординат под углом $45^\circ$. Такое основание обозначается буквой $e$. Число $e$ ирранионально, его приближённое значение равно 2,718.
Показательная функция с основанием $e$ и называется экспонентой. Она имеет специальное обозначение: $\mathop{\mathrm{Exp}}t$. График экспоненты $y=e^t$ изображён на рисунке 2. Касательная к нему в точке $t=0$ наклонена к оси $Ot$ под углом $45^\circ$, поэтому она задаётся уравнением $y=1+t$.
Рис. 2
Можно показать, что все точки экспоненты лежат выше касательной, так что при всех значениях $t$ выполняется неравенство $e^t\gt1+t$. Из этого неравенства можно получить оценки числа $e$. Для этого заметим, что при $t=\dfrac1n$: $e^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle n}}\gt1+\dfrac1n$; отсюда, возводя в степень $n$, получим
$$
e\gt\left(1+\dfrac1n\right)^n.
$$
При $t=-\dfrac1{n+1}$: $e^{-\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle n+1}}\gt1-\dfrac1{n+1}=\dfrac n{n+1}$, откуда $e^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle n+1}}\lt\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$ и, возводя в степень $n+1$, получим
$$
e\lt\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}.
$$
Неравенствами
$$
\left(1+\dfrac1n\right)^n\lt e\lt\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}
$$
число $e$ определяется однозначно (см. статью Л. Г. Лиманова «О числе $e$ и $n!$», «Квант» № 5, 1972).
Так как при основании $a=e$ по определению $\tg\phi=1$, то из формулы (3) вытекает приближённое равенство (при $t=0$ и малых $\Delta t$)
$$
\Delta(e^t)=e^{\Delta t}-e^0=e^{\Delta t}-1\approx\Delta t.\tag4
$$
Теперь введём коэффициент пропорциональности. Для этого подставим в формулу (4) $k\cdot\Delta t$ вместо $\Delta t$: $e^{k\cdot\Delta t}-1\approx k\cdot\Delta t$ (при малых $\Delta t$). Значит, для функции $e^{kt}$ приращение $\Delta y$ (при любом $t$) имеет вид
$$
\Delta t=e^{k(t+\Delta t)}-e^{kt}=e^{kt}(e^{k\cdot\Delta t}-1)\approx ky\cdot\Delta t.
$$
Таким образом, функция $y=e^{kt}$ удовлетворяет условию (1). Очевидно, что и функция $y=Ce^{kt}$ при любом постоянном множителе $C$ удовлетворяет этому же условию, так как её приращение равно
$$
\Delta y=Ce^{k(t+\Delta t)}-Ce^{kt}=Ce^{kt}(e^{k\cdot\Delta t}-1)\approx ky\cdot\Delta t.
$$
В конкретных примерах множитель $C$ позволяет учесть так называемое начальное условие — значение величины $y$ в начальный момент времени $t=0$. При $t=0$ получаем $y(0)=Ce^0=C$. Окончательно описываемый процесс можно записать так:
$$
\htmlClass{color--red}{y(t)=y(0)\,e^{kt}.}\tag*{\htmlClass{color--red}{(5)}}
$$
Мы начали с показательных функций, но любую показательную функцию можно выразить через экспокенту, используя равенство
$$
a^t=e^{kt},
$$
где $k=\log_ea$. Логарифм по основанию $e$ называется натуральным логарифмом и обозначается символом $\ln a$, т. е. $\ln a=\log_ea$. Выбор экспоненты вместо другой показательной функции объясняется лишь простотой учёта коэффициента пропорциональности $k$.
Натуральные логарифмы связаны с десятичными соотношением
$$
\ln a=\dfrac1{\lg e}\cdot\lg a,
$$
которое получается при логарифмировании по основанию 10 тождества $e^{\ln a}=a$ и переносом $\lg e$ в правую часть.
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ
Здесь мы, исходя из физических соображений, покажем, что рассматриваемый процесс удовлетворяет соотношению (1), а отсюда немедленно будет следовать, что этот процесс описывается экспонентой (5).
1. Радиоактивный распад
Пусть в некоторый начальный момент ($t=0$) мы имели $N_0$ атомов радиоактивного вещества. Распад атомов в нём совершается случайным образом, но экспериментально установлено, что среднее число атомов, распадающихся за малый промежуток времени, пропорционально количеству имеющихся атомов. Следовательно, через промежуток времени $t$ у нас будет уже не $N_0$ радиоактивных атомов, а $N_t$. Так как этот процесс удовлетворяет уравнению (1), то мы можем написать $N_t=N_0e^{kt}$.
Найдём значение коэффициента $k$. Для этого используем понятие периода полураспада$T$.
Период полураспада — это время, за которое число атомов вещества уменьшается вдвое. Начальное количество вещества нам известно, период полураспада $T$ также известен. Тогда коэффициент $k$ можно найти из условия, что к моменту времени $t =T$ останется половина начального количества: $N_T=\dfrac12N+-$. Ранее мы показали, что $N_T=N_0e^{kT}$.
Сравнивая два полученных выражения, найдём $\dfrac12=e^{kT}$, откуда после логарифмирования (по основанию $e$) найдём значение коэффициента $k$:
$$
kT=\ln\dfrac12=-{\ln2},\quad k=-\dfrac{\ln2}T,
$$
и окончательно
$$
N_t=N_0e^{-\frac{\scriptstyle\ln2}{\scriptstyle T}t}.
$$
2. Процесс разряда конденсатора
Рис. 3
Пусть $C$ — ёмкость конденсатора, $R$ — сопротивление, через которое он разряжается (рис. 3), $q$ — заряд конденсатора в момент времени $t$ (в момент $t=0$ мы замыкаем ключ К), $\phi_1-\phi_2$ — разность потенциалов, соответствующая заряду $q$, $I$ — ток в момент времени $t$, $\Delta q$ — изменение заряда на обкладках за время $\Delta t$. Поскольку
$$
\Delta q\approx -I\cdot\Delta t,\quad I=\dfrac{\phi_1-\phi_2}R=\dfrac q{CR},
$$
то
$$
\Delta q\approx-\dfrac q{CR}\Delta t
$$
(соотношение (1)!), отсюда получаем (соотношение (5)!):
$$
q=q_0e^{-\frac{\scriptstyle t}{\scriptstyle RC}}.
$$
3. Зависимость давления от высоты (формула Больцмана)
Рис. 4
Рассмотрим воздушный столб единичного сечения (рис. 4). Пусть давление на высоте $h$ равно $P$, тогда давление на высоте $h+\Delta h$ изменится на величину $\Delta P$, где $\Delta P$ — вес воздушного столба высотой $\Delta h$. Но $\Delta p\approx-\rho g\cdot\Delta h$, где $\rho$ — плотность воздуха на высоте $h$, $g$ — ускорение свободного падения. Если положить, что температура воздушного столба всюду одинакова, то в силу газовых законов плотность газа прямо пропорциональна давлению и обратно пропорциональна абсолютной температуре, т. е. $\rho=k\dfrac PT$, где $k$ — эффициент пропорциональности, $T$ — абсолютная температура (коэффициент $k$ может быть найден из уравнения Менделеева—Клапейрона). Подставляя значение $\rho$ в формулу для $\Delta P$, получим
$$
\Delta P\approx-k\dfrac gTP\cdot\Delta h,
$$
откуда
$$
P=P_0e^{-\frac{\scriptstyle kgh}{\scriptstyle T}}.
$$
4. Явление самоиндукции
Рис. 5
Рассмотрим цепь (рис. 5), состоящую из источника э. д. с. ($E$) и последовательно включённых катушки индуктивности ($L$) и омических сопротивлений ($R$). Пусть до момента времени $t=0$ цепь замкнута и по ней течёт ток $I_0$. При $t=0$ закоротим цепь ключом К и рассмотрим изменение со временем тока $I(t)$ в цепи $L$, $R$. Согласно закону Ома для рассматриваемой цепи, состоящей из индуктивности и омического сопротивления, имеем $IR\approx-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ (здесь $-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ представляет собой э. д. с. самоиндукции). Следовательно,
$$
\Delta I\approx-\dfrac RLI\cdot\Delta t,
$$
откуда
$$
I(t)=I_0e^{-\frac{\scriptstyle R}{\scriptstyle L}t}.\tag6
$$
Рис. 6Рис. 7
Для цепи, состоящей из катушки $L$, сопротивления $R$, и источника э. д. с. $E$ (рис. 6), закон Ома примет форму $IR\approx E-L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$. Пусть в момент $t=0$ ключ К замкнули (до этого предполагается цепь разомкнутой). После того как процесс станет установившимся, в цепи будет течь ток $I_0=\dfrac ER$, но до наступления этого результирующий ток в цепи получается как алгебраическая сумма тока $I_0$ и противоположного ему, определяемого формулой (6). Таким образом, при неустановившемся режиме результирующий ток определится как
$$
I=\dfrac ER\raisebox{2.5pt}{\(\Big(\)}1-e^{-\frac{\scriptstyle R}{\scriptstyle L}t}\raisebox{2.5pt}{\(\Big)\)}.
$$
Его график изображён на рисунке 7.
5. Остывание тел
Согласно закону Ньютона при небольшой разности температур между телом и окружающей средой изменение энергии тела за время $\Delta t$ определяется формулой
$$
\Delta q\approx-k(T-T_{\text{с}})\cdot\Delta t,
$$
где $\Delta Q$ — количество излучаемой энергии (тепла) за время $\Delta $, $T$ — температура тела, $T_{\text{с}}$ — температура окружающей среды, коэффициент $k$ зависит от поверхности и природы тела. Для простоты положим $T_{\text{с}}=0$, тогда $\Delta Q\approx-kT\cdot\Delta t$. С другой стороны, изменение количества тепла равно $\Delta Q=C\cdot\Delta T$ (здесь $C$ — теплоёмкость тела, $\Delta T$ — изменение его температуры). Сравнивая выражения для $\Delta Q$, получим
$$
\Delta T\approx-\dfrac kCT\cdot\Delta t,
$$
т. е. скорость изменения температуры пропорциональна температуре тела, следовательно,
$$
T=T_0e^{-\frac{\scriptstyle k}{\scriptstyle C}t}.
$$
Читателю предлагается в случае $T_{\text{с}}\ne0$ доказать справедливость следующей формулы:
$$
T=(T_0-T_{\text{с}})e^{-\frac{\scriptstyle k}{\scriptstyle C}t}+T_{\text{с}}.
$$
6. Движение тела в вязкой жидкости
Рассмотрим движение лодки в воде с учётом силы вязкого трения. Пусть лодка с работающим двигателем движется в воде равномерно (это означает, что сила тяги двигателя уравновешивается силой вязкого трения). В момент времени $t=0$ двигатель выключается; требуется найти закон изменения скорости лодки.
Очевидно, что после выключения двигателя на лодку действует лишь тормозящая сила вязкого трения, которая пропорциональна скорости лодки и направлена в сторону, противоположную движению: $F_{\text{тр}}=-kv$. Подставляя выражение для силы во второй закон Ньютона $F=ma$, получим $ma=-kv$ или
$$
\Delta v\approx-\dfrac kmv\cdot\Delta t.
$$
Следовательно, скорость лодки изменяется по закону
$$
v=v_0e^{-\frac{\scriptstyle k}{\scriptstyle m}t}.
$$
7. Ослабление интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду
Параллельный пучок лучей (или частиц), проходя через слой вещества, уменьшает свою интенсивность (рис. 8). Если толщина слоя достаточно мала, то изменение интенсивности пучка пропорционально толщине слоя: $\Delta I\approx k_1\cdot\Delta l$. С другой стороны, количество поглощённых квантов (или рассеянных частиц) пропорционально интенсивности пучка: $\Delta I=-k_2I$.
Рис. 8
Коэффициенты $k_1$ и $k_2$ зависят от свойств поглощающей среды. Объединяя обе формулы, получим
$$
\Delta I\approx-kI\cdot\Delta l.
$$
Отсюда интенсивность параллельного пучка при прохождении через поглощающую среду убывает по закону
$$
I=I_0e^{-kl}
$$
(закон Ламберта—Бугера—Бера).
8. Работа идеального газа при изотермическом процессе
При изобарическом процессе работа, совершаемая идеальным газом, может быть вычислена как произведение давления на изменение объёма: $A=P(V_2-V_1)$. В случае изотермического процесса этой формулой пользоваться нельзя, ибо давление не остаётся постоянным. Но при малом изменении объёма можно пренебречь изменением давления и вычислять работу как
$$
\Delta A\approx P(V_2-V_1)=P\cdot\Delta V.
$$
Выразив давление по формуле Менделеева—Клапейрона, получим
$$
\Delta A\approx\dfrac m\mu RT\dfrac{\Delta V}V.
$$
Это позволяет найти зависимость $V$ от $A$:
$$
\Delta V\approx\dfrac\mu{mRT}V\cdot\Delta A,
$$
откуда следует, что
$$
V=V_0e^{\frac{\scriptstyle\mu}{\scriptstyle mRT}A}.
$$
Прологарифмировав это равенство по основанию $e$, получим
$$
A=\dfrac m\mu RT\ln\dfrac V{V_0}.
$$
Здесь $V_0$ — начальное значение объёма, $V$ — конечное.
9. Задача Циолковского
Рассмотрим движение космического корабля, находящегося на большом удалении от масс тяготения. Очевидно, что если двигатель не работает, то корабль или покоится или движется равномерно и прямолинейно; будем считать, что он покоится, $v_0=0$. В силу законов сохранения после включения двигателя количество движения системы «корабль — выхлопные газы» остаётся неизменным, поскольку на эту систему не действуют внешние силы.
Обозначим через $m$, $v$ массу корабля с топливом и скорость его в момент времени $t$, $u$ — скорость выбрасываемого выхлопного газа относительно корабля (величина постоянная). Тогда $mv=(m-m_0)(v+\Delta v)-\Delta m(u-v)$, откуда $\Delta m=-\dfrac{\Delta v}{u-\Delta v}m$. Найдём зависимость $m$ от $v$. При малых $\Delta v$, учитывая, что $u$ — постоянная, $u\ne0$, имеем $u-\Delta v\approx u$, поэтому
$$
\Delta m\approx-\dfrac1um\cdot\Delta v,
$$
и, стало быть,
$$
m=m_0e^{-\frac{\scriptstyle v}{\scriptstyle u}}.
$$
Прологарифмировав по основанию $e$ и упрощая, получим
$$
v=u\ln\dfrac{m_0}m.
$$
Отсюда следует, что скорость корабля целиком определяется его начальной скоростью, относительной скоростью частиц выхлопного газа и количеством израсходованного топлива и не зависит от закона расходования топлива.
