«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что в любой арифметической прогрессии $a$, $a+d$, $a+2d$, $\ldots$, $a+nd$, $\ldots$, составленной из натуральных чисел, найдётся бесконечно много членов, в разложение которых на простые множители входят в точности одни…
В правильной усечённой пирамиде (рис. 1) точка $K$ — середина некоторой стороны $AB$ верхнего основания, $L$ — середина некоторой стороны $CD$ нижнего основания.
Докажите, что проекции отрезков $AB$ и…
Пусть $k\lt n$ — натуральные числа. Расставьте числа 1, 2, 3, $\ldots$, $n^2$ в таблицу $n\times n$ так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в $k$-м столбце была
В закрытом кубическом сосуде с ребром $1~\text{см}$ имеется $n$ молекул газа. Стенки кубика таковы, что молекула газа, попав на стенку, остаётся на ней $10^{-2}~\text{с}$. Оценить, сколько молекул газа…
Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы сигнала гидролокатора длительностью $\tau_0$, в направлении дна. Длительность отражённых сигналов, измеряемых гидроакустиком на лодке, равна…
В однородное электрическое поле, напряжённость которого равна $E$, внесли металлический шар. Известно, что плотность поверхностных зарядов на «полюсе» шара в точке $A$ (рис. 3) равна $\sigma_0$.…
Спутник движется вокруг Земли по почти круговой орбите со скоростью $v$. Изменение его орбиты связано с тем, что на спутник действует со стороны микрочастиц сила трения $F = A \cdot v^\alpha$, где $A$ и…
Оцените, на какую высоту вы смогли бы подпрыгнуть на Луне.
Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовём натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число.…
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
