Изображения страниц
Текст статьи Несколько задач по тригонометрии // Квант. — 1972. — № 1. — С. 65.
Дан треугольник
$ABC$ со сторонами$a$, $b$, $c$. Доказать, что- если
$\cos C=\dfrac{\sqrt{ab}}{a-\sqrt{ab}+b}$, то$\dfrac{\tg A}{\tg B}=-\dfrac ab\sqrt{\dfrac ab}$; - если
$\tg C$, $\tg A$, $\tg B$ образуют геометрическую прогрессию, то её знаменатель равен$\dfrac{b^2}{c^2}$, причём$A\le\dfrac\pi3$; - если
$\tg\dfrac C2$, $\tg\dfrac A2$, $\tg\dfrac B2$ образуют геометрическую прогрессию, то её знаменатель равен$\dfrac bc$, причём$A\le\dfrac\pi3$.
- если
- Пусть
$\tg\alpha$, $\tg\beta$, $\tg\gamma$ — корни уравнения$ax^3+3bx^2+3cx+d=0$. Написать уравнение, имеющее корни$\tg\alpha\tg(\beta+\gamma)$, $\tg\beta\tg(\alpha+\gamma)$, $\tg\gamma\tg(\alpha+\beta)$. - Пусть
$\alpha+\beta+\gamma$ кратно$\pi$ и$x^2\sin r\alpha+y^2\sin r\beta+z^2\sin r\gamma$ обращается в нуль при$r=1$ и$r=2$. Доказать, что это выражение равно нулю при всех натуральных значениях$r$. - На сторонах
$BC$, $CA$, $AB$ сферического треугольника$ABC$ откладывают равные дуги$BA_1$, $CB_1$, $AC_1$. Доказать, что геометрическое место точек пересечения медиан треугольника$A_1B_1C_1$ является большим кругом. - Пусть точки
$A$, $B$, $C$, $D$ лежат на сфере,$P$ — отличная от них точка этой сферы и$\pi$ — плоскость, касающаяся сферы в точке$P$. Обозначим через$\alpha$ угол, образованный пересечениями плоскостей$PAC$ и$PBC$ с плоскостью$\pi$, а через$\beta$ — угол, образованный пересечениями с$\pi$ плоскостей$PAD$, $PBD$. Доказать, что$|\alpha-\beta|$ не зависит от выбора точки$P$.