Как вы решаете задачи на кинематику? Сколько формул вы помните? 5? 10? 15? Очень часто решение задач начинается с выписывания большого количества формул — формулы для пути, пройденного телом за $n$-ю секунду, формулы для отношения путей, пройденных телом за последовательные промежутки времени, формулы для разности квадратов скоростей тела и т. д. Затем эти формулы пытаются подставлять друг в друга, делить, множить... Иногда таким способом удаётся найти ответ. Но чаще всего задачи на кинематику — непреодолимая преграда. Это, пожалуй, один из самых трудных разделов для абитуриентов. Хотя должен быть одним из самых простых. Давайте разберёмся в нём.
Будем сначала говорить о прямолинейном движении тела. Если прямую, вдоль которой оно движется, принять за ось координат $OX$ (точка $O$ — начало координат), то положение тела определяется его координатой $x$. При движении с постоянным ускорением координата тела меняется со временем по закону
$$
x=x_0+v_0t+\dfrac{at^2}{2},\qquad(*)
$$
где $x_0$ — начальная координата тела (при $t=0$), $v_0$ — его начальная скорость и $a$ — ускорение. Уравнение $(*)$ и есть кинематическое уравнение движения тела. Конечно, уравнение $(*)$ — проекция на ось $x$ векторного уравнения для радиуса-вектора $\overrightarrow{r}$, определяющего положение центра масс тела (рис. 1). Поэтому проекция на ось $OX$ тех векторных величин, которые направлены так же, как и ось $OX$, положительны, а тех, которые направлены в противоположную сторону,— отрицательны. Это нужно учитывать, подставляя эти величины в уравнение $(*)$.
Подчеркнём ещё раз: уравнение $(*)$ — уравнение для координаты тела, а не для пути, пройденного им. Путь — положительная скалярная величина, которая не может уменьшаться. В то же время, координата тела может вести себя как угодно. Например, если $v_0$ положительно и $a=-a_0$ отрицательно (вектор скорости $\overrightarrow{v}_0$ направлен в ту же сторону
Рисунок номер 1
что и ось $OX$, а вектор ускорения $\overrightarrow{a}$ — в противоположную), то координата тела вначале будет увеличиваться, а затем уменьшаться. Это сразу видно из графика зависимости $x$ от $t$ (рис. 2). Через некоторое время после начала движения координата станет отрицательной. Только в том случае, когда тело движется в одну сторону, путь, пройденный телом, равен абсолютному значению изменения его координаты. Поэтому, если нам нужно найти путь, пройденный телом за какое-то время, приходится разбивать движение на участки, на которых тело двигалось в одну сторону, находить изменения координаты тела на этих участках и складывать их абсолютные величины. Но в этом нет необходимости, если нас интересуют другие величины — координата, время, скорость и ускорение. Нужно просто воспользоваться кинематическим уравнением движения $(*)$.
Решим с его помощью следующую задачу.
Задача 1. Камень брошен вертикально вверх. Через какое время он упадёт на землю?
Выберем ось координат, направленную вертикально вверх, с началом координат, связанным с землёй. В этом случае $x_0=0$, $v_0\gt0$ и $a=-g\lt0$. Поэтому
$$
x=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}.\qquad(1)
$$
В момент падения на землю $x=0$. Подставляя это значение $x$ в кинематическое уравнение движения камня (1), получим уравнение
$$
gt^2-2v_0t=0,
$$
решая которое, найдём
$$
t_1=0,\quad t_2=\dfrac{2v_0}{g}.
$$
Рисунок номер 2
Значение $t_1=0$ соответствует моменту бросания камня; $t_2$ — время движения камня.
Конечно, уравнение движения определяет координату тела в любой момент времени. Воспользовавшись этим, найдём, например, тот момент времени, когда камень находился на высоте $h$. Подставляя в уравнение движения $x=h$, получим
$$
h=v_0t-\dfrac{gt^2}{2}.
$$
Отсюда
$$
t_1=\dfrac{v_0-\sqrt{v_0^2-2gh}}{2h}, \qquad t_2=\dfrac{v_0+\sqrt{v_0^2-2gh}}{2h}.
$$
На высоте $h$ тело было дважды — в момент $t_1$ при подъёме и в момент $t_2$ при спуске (конечно, $2gh\le v_0^2$, так как максимальная высота подъёма тела $h_{\max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$).
Часто нам нужно знать скорость тела в разные моменты времени. Так как $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}_0+\overrightarrow{a}t$, то для проекции скорости на ось $OX$ имеем
$$
v_x=v_0+at.\qquad(**)
$$
Это второе кинематическое уравнение движения — уравнение скорости. Оно, конечно, тоже справедливо во всё время движения тела, если только ускорение $a$ было постоянным.
Найдём, например, скорость камня в момент падения на землю. В этом случае $a=-g$, $t=t_2=\dfrac{2v_0}{g}$. Поэтому
$$
v(t_2)=v_0-g\dfrac{2v_0}{g}=-v_0,
$$
то есть в момент падения на землю скорость камня равна начальной, но направлена в противоположную сторону.
Уравнение $(**)$ позволяет легко найти время $t_п$ подъёма камня. Так как в точке максимального подъёма скорость камня равна нулю, то
$$
0=v_0-gt_n.
$$
Отсюда $t_n=\dfrac{v_0}{g}$. Время подъёма камня равно половине времени полёта.
Мы видим, что два уравнения — для координаты и для скорости позволяют получить ответ на любой вопрос относительно движения камня. Именно их и нужно всегда помнить.
Решим ещё одну задачу.
Задача 2. Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло $\dfrac13$ своего пути. Сколько секунд ($n$) и с какой высоты ($h$) падало тело?
Примем за начало координат точку бросания, а ось координат направим вертикально вниз. Тогда координата тела зависит от времени по закону
$$
x=\dfrac{gt^2}{2}
$$
($v_0=0$, $x_0=0$, $a=g$). Если тело падало $n$ секунд, время падения равно $n\cdot\tau$ ($\tau=1$ $\text{сек}$), и
$$
h=\dfrac{gn^2\tau^2}{2}.\qquad(1)
$$
Через время $(n-1)\tau$ после начала движения координата тела была равна $\dfrac23h$. Поэтому
$$
\dfrac23h=\dfrac{g(n-1)^2\tau^2}{2}.\qquad(2)
$$
Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдём,
$$
n=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3-\sqrt2}\approx5{,}45,\qquad h\approx145~\text{м}.
$$
Можно было выбрать и другую систему координат, например, связанную с землёй и осью координат, направленной вверх. Тогда уравнение движения тела было бы таким:
$$
x=h-\dfrac{gt^2}{2}\quad(x_0=h,\ v_0=0,\ a=-g).
$$
Здесь при $t=n\tau$ $x=0$, а при $t=(n-1)\tau$ $x=\dfrac13h$.
Можно выбрать и ещё одну систему координат — с началом в точке бросания и осью, направленной вверх. В этой системе
$$
x=-\dfrac{gt^2}{2};
$$
при $t=n\tau$ $x=-h$, при $t=(n-1)\tau$ $x=-\dfrac23h$.
В данной задаче выбор системы координат не очень существен, но часто, удачно выбрав систему координат, можно значительно упростить решение.
Решим, например, такую задачу.
Задача 3. С каким промежутком времени $\tau$ оторвались от крыши две дождевые капли, если через время $t_0$ после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно $l$?
Эту задачу можно, конечно, решать в системе координат, связанной с крышей (сделайте это сами).
Но удобнее перейти к системе координат, связанной со второй каплей. Так как капли падают с одинаковым ускорением относительно земли, то их относительное ускорение равно нулю: капли движутся друг относительно друга равномерно. Их относительная скорость равна скорости первой капли относительно земли в момент отрыва второй капли $v_0=g\tau$. Уравнение движения первой капли в системе координат, связанной со второй, выглядит так:
$$
x=v_0t+x_0,
$$
где $x_0=\dfrac{g\tau^2}{2}$. При $t=t_0$ $x=l$, то есть
$$
l=g\tau t_0+\dfrac{g\tau^2}{2}.
$$
Решив это уравнение, получим ответ:
$$
\tau=\sqrt{t_0^2+\dfrac{l}{g}}-t_0.
$$
Решим ещё такую задачу.
Задача 4. Снаряд взрывается в некоторой точке траектории. На какой поверхности будут находиться осколки снаряда через некоторое время $t$ после взрыва?
В системе координат, связанной с точкой взрыва снаряда и движущейся с той же скоростью, что и снаряд, и с тем же ускорением относительно земли, осколки снаряда движутся равномерно. Поэтому через время $t$ каждый из них будет находиться на расстоянии $v_0t$ от точки взрыва ($v_0$ — скорость осколков в нашей системе координат), то есть все они будут находиться на сфере радиуса $v_0t$ с центром в точке взрыва снаряда.
Попробуйте решить эту задачу в системе координат, связанной с землёй.
В заключение разберём случай, когда тело движется по криволинейной плоской траектории с постоянным ускорением $\overrightarrow{a}$. В этом случае, спроектировав скорость $\overrightarrow{v}_0$ и ускорение $\overrightarrow{a}$ тела на два взаимно перпендикулярных направления — на оси $OX$ и $OY$, получим два однотипных уравнения движения:
$$
x=x_0+v_{0X}t+\dfrac{a_xt^2}{2},
$$
$$
y=y_0+v_{0Y}t+\dfrac{a_yt^2}{2},
$$
и два уравнения для скорости $v$ тела:
$$
v_x=v_{0X}+a_xt,\qquad v_y=v_{0Y}+a_yt.
$$
(Если траектория движения тела не лежит в одной плоскости, то мы должны записать три уравнения.)
Рисунок номер 3
Рисунок номер 4
Решим с помощью этих уравнений следующую задачу.
Задача 5. Самолёт летит горизонтально на высоте $h$ со скоростью $v_0$. Лётчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолёта. Под каким углом $\alpha$ к горизонту он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?
Выберем неподвижную относительно земли систему координат с началом координат в точке, в которой находился самолёт в момент сбрасывания бомбы (рис. 3). Начальная скорость бомбы равна $\overrightarrow{v}_0$ и горизонтальна, а ускорение $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}$ направлено вдоль оси $y$. Поэтому
$$
x=v_0t,
$$
$$
y=\dfrac{gt^2}{2}.
$$
В момент $t_0$ падения бомбы на землю в выбранной нами системе координат $x=S$, а $y=h$ (см. рис. 4), поэтому
$$
S=v_0t_0,
$$
$$
h=\dfrac{gt_0^2}{2}.
$$
Исключая $t_0$, получим
$$
S=v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}},
$$
$$
\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{h}{S}=\dfrac{1}{v_0}\sqrt{\dfrac{gh}{2}}.
$$
Решим ещё одну задачу.
Задача 6. Камень бросают горизонтально со скоростью $v_0$ с горы, уклон которой равен $\alpha$. На каком расстоянии $L$ от места бросания камень упадёт на землю?
В системе координат, показанной на рисунке 4, положение камня в момент времени $t$ определяется координатами
$$
x=v_0t,\qquad y=\dfrac{gt^2}{2}.
$$
В момент $t_0$ падения на землю $x=L\cos\alpha$, а $y=L\sin\alpha$, то есть
$$
L\cos\alpha=v_0t_0,
$$
$$
L\sin\alpha=\dfrac{gt_0^2}{2}.
$$
Отсюда
$$
L=\dfrac{2v_0^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha}.
$$
Рисунок номер 5
Можно было бы выбрать и другую систему координат, например, показанную на рисунке 5. Иногда это бывает удобно. В этой системе координат
$$
v_{0X}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{0Y}=v_0\sin\alpha,
$$
$$
a_x=g\sin\alpha\quad\text{и}\quad a_y=-g\cos\alpha.
$$
Поэтому
$$
x=v_0\cos\alpha\cdot t+\dfrac{g\sin\alpha\cdot t^2}{2},
$$
$$
y=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{g\cos\alpha\cdot t^2}{2}.
$$
Рисунок номер 6
Подставляя в эти уравнения значения $x$ и $y$ при $t=t_0$ ($x=L$, $y=0$) и решая их совместно, найдём ответ.
Упражнения
- Камень свободно падает с высоты $h$. За какое время он проходит последний метр своего пути?
- Камень, брошенный вертикально вверх, на высоте $h$ побывал дважды с интервалом времени $\tau$. С какой начальной скоростью он был брошен?
- Камень бросают вертикально вверх со скоростью $v_0$ с высоты $h$ от поверхности земли. В этот же момент с земли со скоростью $u_0$ бросают вертикально другой камень. Через какое время камни окажутся на одной высоте? Какова будет эта высота?
- Цель, находящаяся на вершине холма, видна под углом $\alpha$ к горизонту с того места, где находится орудие. Как должен быть направлен ствол орудия к горизонту, чтобы попадание было точным, если начальная скорость снаряда $v_0$, а высота холма равна $h$?
- Камень бросают в реку. Какой будет картина волн? Нарисуйте её.
- Два автомобиля одновременно прошли перекрёсток и едут по улицам, составляющим угол $\alpha$ друг с другом (рис. 6). Скорости автомобилей равны $v_1$ и $v_2$. Через какое время расстояние между автомобилями будет равно $l$?
Указание. Удобно выбрать систему координат, связанную с одним из автомобилей. В ней скорость второго автомобиля постоянна и равна
$$
\overrightarrow{v}_{\text{отн}}=\overrightarrow{v}_2+(-\overrightarrow{v}_1).
$$
