Смородинский Я. А.

Похожие движенияСмородинский Я. А. Похожие движения // Квант. — 1971. — № 9. — С. 15⁠—⁠17.‍‍

Существует ряд механических движений, которые хотя и различны, но описываются одними и теми же формулами. Поэтому, если мы выясним, как меняются какие-то величины при одном движении, можно сделать выводы для аналогичных. Расскажем о двух таких движениях.

1. Гармонические колебания

Между движением по окружности и гармоническим движением можно установить полезное соответствие. Рассмотрим материальную точку, которая движется равномерно по окружности. Её скорость равна $v$‍‍ и направлена по касательной к окружности. Если радиус окружности обозначить через $R$‍,‍ то центростремительное ускорение точки равно $\dfrac{v^2}{R}$‍‍ и направлено по радиусу к центру (рис. 1).

Посмотрим, как движется проекция точки на диаметр окружности. Из рисунка ясно, что если положение точки на окружности задаётся углом $\varphi$‍,‍ то положение её проекции определяется координатой $$ \tag{1} x=R\cos\varphi. $$

Проекция скорости на диаметр (обозначим её через $u$‍)‍ равна $$ \tag{2} u=-v\sin\varphi, $$

и, наконец, проекция ускорения $$ \tag{3} a=-\dfrac{v^2}{R}\cos\varphi. $$

Из формул (1) и (3) легко получить, что $$ \tag{4} a=-\left(\dfrac{v^2}{R^2}\right)x. $$

С таким же ускорением двигалась бы материальная точка с массой $m$‍‍ под действием силы $$ \tag{5} F=am=-\left(\dfrac{v^2}{R^2}\right)xm. $$

Такая сила, пропорциональная координате, называется гармонической, а движение под действием такой силы — гармоническим движением.

Введём вместо линейной скорости угловую $\omega=\dfrac{v}{R}$‍‍ (в $\text{рад/сек}$‍).‍ Тогда $\varphi=\omega t$‍‍ и $$ x=R\cos\omega t,\quad u=\omega R\sin\omega t,\quad a=-\omega^2R\cos\omega t. $$

Рисунок номер 1

Таким образом, мы получили все характеристики гармонического движения. Отсюда можно сделать вывод, что проекцию точки на окружности можно заменить реальной частицей, движение которой будет описываться полученными выше формулами.

Напомним, что входящие в уравнение Ньютона величины $F$‍‍ и $a$‍‍ — векторы. Их, следовательно, можно спроектировать на любое направление, и зависимость между проекциями будет описываться уравнением Ньютона.

Туннели в Земле

Покажем, что на точку, находящуюся внутри Земли, действует тоже гармоническая сила (вне Земли на точку действует сила $F=\gamma\dfrac{Mm}{R^2}$‍).‍

Пусть материальная точка массы $m$‍‍ находится на расстоянии $r$‍‍ от центра Земли. Действие, которое оказывает на точку Земля, можно разбить на две части (рис. 2): действие внутренней сферы (красной) и действие внешнего сферического слоя (жёлтого).

Рисунок номер 2

Как известно, сферический слой не создаёт внутри себя поля тяжести (если плотность $\rho$‍‍ в нём постоянна)‍. Поэтому на точку будет действовать только «красная часть», масса которой $$ \tag{7} M=\dfrac43\pi r^3\rho. $$

Сила, с которой действует на точку «красная часть», равна $$ \tag{8} F=-\gamma\dfrac{Mm}{r^2}=-\gamma\dfrac{4\pi\rho m}{3}\cdot r. $$

Следовательно, внутри Земли (в туннеле) на точку действует гармоническая сила, пропорциональная расстоянию от центра Земли. Движение в туннеле оказывается похожим на движение тела, подвешенного к пружине — упругая сила пружины также пропорциональна её растяжению.

Теперь мы можем решить такую задачу: через центр Земли прорыт узкий туннель (рис. 3). В него уронили из точки $A$‍‍ (без начальной скорости) камень. Камень долетит до точки $B$‍‍ и начнёт падать обратно, долетит до точки $A$‍‍ и начнёт падать к точке $B$‍‍ и т. д. Как найти период колебаний?

Рисунок номер 3

Фактически, эту задачу мы уже решили. Движение камня в туннеле можно рассматривать как движение проекции точки, вращающейся вокруг Земли у её поверхности (например, спутника на круговой орбите вблизи Земли). Поэтому частота колебаний камня в туннеле равна угловой частоте вращения спутника вокруг Земли. Так как центростремительное ускорение спутника $a=\omega^2R$‍‍ (расстояние от спутника до поверхности Земли $h\ll R$‍)‍ и $a=\dfrac{F}{m}$‍,‍ то $$ \tag{9} \omega=\sqrt{\dfrac{a}{R}}=\sqrt{\dfrac{F}{mR}}=\sqrt{\gamma\dfrac{4\pi\rho mR}{3mR}}=\sqrt{\gamma\dfrac{4\pi\rho}{3}}. $$

Период колебаний, следовательно, равен $$ \tag{10} T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\sqrt{\dfrac{3\pi}{\rho\gamma}}. $$

Следует отметить, что формула (10) определяет и период колебаний тел в туннеле, проведённом через Землю в любом направлении (не обязательно через центр). Это следует из приведённого выше утверждения о том, что уравнение Ньютона остаётся справедливым, если входящие в него векторные величины заменить их проекциями на любое направление. Однако, можно провести доказательство и непосредственно, заметив, что хорда во столько же раз меньше диаметра, во сколько проекция силы на направление хорды меньше самой силы. Попробуйте сделать это сами.

Тот же период будет описывать и движение точки по подземному круговому туннелю с центром в центре Земли. (Докажите.)

Теперь вы, наверное, сами можете показать, что если одновременно уронить несколько тел в разные туннели, исходящие из одной точки $A$‍‍ (рис. 4), то в любой момент времени $t_1$‍,‍ $t_2$‍,‍ ... они будут находиться на окружности, проходящей через точку $A$‍.‍

Рисунок номер 4

Две задачи

1. После смерти отца наследство размером в 1320 рублей было распределено в соответствии с завещанием между его тремя сыновьями и больницей. Если бы первый сын наряду со своей долей получил также и долю, завещанную больнице, то общая сумма полученного им наследства равнялась бы сумме долей двух других сыновей. Если бы доля, завещанная больнице, досталась второму сыну, то вместе с причитающейся ему долей он получил бы в два раза больше, чем его братья. Если бы доля больницы перешла в пользование третьего сына, то вместе с причитающейся ему долей общая сумма денег в три раза превысила бы сумму наследств двух его братьев. Найти размер каждого наследства.
2. В известной игре в «пятнадцать» фишки расположены таким образом, как это показано на рисунке. Таблица: расположение фишек игры «пятнадцать» Необходимо переместить их так, чтобы сумма фишек, расположенных в каждом из четырёх столбцов, в каждой из четырёх строк и в каждой из двух диагоналей равнялась бы 30. Найти наименьшее число движений и указать их последовательность. Решение может быть найдено при помощи самодельных картонных фишек с цифрами, которые должны располагаться в указанном выше порядке.

А. Дмитриев