Азбель М. Я.

Беседа о принципе неопределённостиАзбель М. Я. Беседа о принципе неопределённости // Квант. — 1971. — № 9. — С. 7⁠—⁠10.‍‍

Во втором номере нашего журнала за 1971 год была напечатана статья М. Я. Азбеля «Диалог о температуре». Статья вызвала много откликов читателей. Во всех письмах говорилось о том, что статья интересна. Однако в статье было много опечаток, за которые редакция и автор приносят свои извинения. В письмах читатели ставили очень интересные вопросы. Поэтому мы решили не давать просто список опечаток, а попросить автора продолжить разговор с читателем.

Автор. Я никак не ожидал, что редакция поможет мне превратить воображаемый диалог с читателем в реальный, и даже не диалог, а беседу. Вот что пишет читатель Володя Маргулис из Саранска.

В. Маргулис. В вашей статье «Диалог о температуре» содержится, мне кажется, множество опечаток. Постоянные Больцмана и Планка завышены на два порядка, заряд электрона — на порядок и т. д.

Автор. Вы совершенно правы. Открою вам профессиональный секрет: как и многие физики-теоретики, я помню только одну систему единиц: CGSE. В ней были проведены все оценки и приведены константы в моей статье: постоянная Планка $h\approx6{,}5\times10^{-27}~\text{эрг·сек}$‍,‍ постоянная Больцмана $k\sim10^{-16}~\text{эрг/град}$‍,‍ заряд электрона $e\sim5\cdot10^{-10}~\text{ед. CGSE}$‍.‍ (Напомню, что нас интересует только порядок величины!)

Однако в статье, вышедшей в журнале, все вычисления оказались в системе СИ и притом в «деформированном виде». Это, конечно, неприятно, но большой беды тут нет. Каждому читателю-школьнику, которому положено знать системы единиц, будет полезно проделать расчёты и вернуть им правильный вид. Полезно и поучительно. Дело в том, что описки и опечатки в научных статьях — явление нередкое, и надо учиться относиться к ним без волнения, исправляя по мере надобности.

В. Маргулис. Я так и поступил, но правильный расчёт дал для электронов потенциальную энергию на два порядка меньше кинетической. А для гелия потенциальная энергия оказалась значительно больше кинетической!‍

Автор. Вас подвела очередная опечатка. Во всех формулах статьи правильнее писать постоянную Планка $h$‍,‍ а не $\hbar=\dfrac{h}{2\pi}$‍.‍ Поэтому кинетическая энергия нулевых колебаний в гелии порядка $$ \dfrac{h^2}{2ma^2}\sim2\cdot10^{-15}~\text{эрг}\sim20~\text{К} $$ (поскольку $m\sim10^{-23}~\text{г}$‍,‍ $a\sim3\cdot10^{-8}~\text{см}$‍).‍ Эта величина всего в 5 раз превышает действительную, несмотря на грубость оценки.

Расчёт потенциальной энергии взаимодействия атомов гелия я не производил, так как этого нельзя сделать, исходя из общих соображений.

В. Маргулис. Теперь мне ясна также ситуация с электронным газом. По формуле $E_{\min}\sim\dfrac{h^2}{2ma^2}$‍‍ при $a\sim3\cdot10^{-8}~\text{см}$‍‍ получается около $2\cdot10^5~\text{К}$‍.‍ А поскольку $a$‍‍ может меняться, оценка имеет смысл только по порядку величины. Электронный газ действительно имеет энергию в десятки, даже сотни тысяч градусов.

Автор. Совершенно верно. Должен в заключение сказать, что мне очень понравилось ваше письмо. С удовольствием желаю вам успехов в продвижении к науке. И ещё — прошу прощения и у вас, и у всех остальных участников нашей беседы за превращение их писем в реплики.

Читатель М. Мохнаткин (Саратов). А меня вы ещё не убедили. Ведь согласно принципу неопределённости $$ \Delta p_x\cdot\Delta x=h, $$ а не $\Delta p\cdot\Delta x=h$‍,‍ как написано в «Диалоге». Значит, поскольку $p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$‍,‍ приведённое значение минимальной энергии следует утроить!

Автор. Если бы в соотношении неопределённости стоял знак равенства, вы были бы совершенно правы. Но очень важно помнить: речь идёт только о порядке величины. Допустим, для определённости, что наибольшим из $\Delta p_x$‍,‍ $\Delta p_y$‍,‍ $\Delta p_z$‍‍ является $\Delta p_x$‍.‍ Тогда для $\Delta p=\sqrt{(\Delta p_x)^2+(\Delta p_y)^2+(\Delta p_z)^2}$‍‍ получаем $\Delta p_x\le\Delta p\le\Delta p_x\sqrt3$‍,‍ так что заведомо $\Delta p\sim\Delta p_x$‍‍ и $\Delta p\Delta x\sim h$‍.‍

При вычислениях порядков величин важно не превышать точности расчёта, «уточняя» коэффициенты — это может только ухудшить дело. Такие расчёты очень полезны, но они не могут дать больше того, на что рассчитаны — ошибка в десять раз естественна.

В частности, для свободной частицы, «запертой» в сферическом ящике диаметра $a$‍,‍ точный расчёт даёт как раз $$ E_{\min}=h^2/2ma^2. $$

Читатель В. Рубин (Москва). А почему вы в случае электронного газа говорите о кулоновском взаимодействии? Ведь электроны сами по себе никак не могли бы образовать кристалл — они отталкиваются друг от друга!

Автор. Конечно. Поэтому я говорил об электронах в металле. Там им не дают разлететься положительные ионы. К взаимодействию с ними и относился расчёт. А кулоновским взаимодействием было взято по следующей причине. Само по себе электростатическое взаимодействие является классическим. Пусть на каждый атом приходится один свободный электрон, так что единственное характерное расстояние задачи — межатомное (точнее, межионное) расстояние $a$‍,‍ и нас интересует расстояние только такого порядка. Тогда единственная величина, имеющая размерность энергии, которую можно сконструировать из $a$‍‍ и заряда электрона $e$‍,‍ есть $\dfrac{e^2}{a}$‍.‍

Конечно, такая запись верна только по порядку величины и только на таких расстояниях. На бóльших расстояниях разноимённые заряды экранируют друг друга, и взаимодействие быстро убывает с расстоянием.

В. Рубин. Ещё один вопрос. Почему, если у вас для электрона в ядре получается скорость, превышающая световую, вы всё-таки используете нерелятивистские формулы?

Автор. Потому что мне хотелось показать: в нерелятивистской квантовой механике наличие «запертых» электронов в ядре приводило бы к неприятностям. А это наводит на мысль, что, вероятно, они там не могут быть заперты. Однако вы, конечно, правы: подобное рассуждение не есть доказательство.

Коль скоро об этом зашла речь, давайте произведём более аккуратный расчёт. Используя опять принцип неопределённости, получаем порядок минимального импульса $p_{\min}$‍‍ электрона, «запертого» в ядре радиуса $R$‍,‍ $p_{\min}\sim\dfrac{h}{R}$‍.‍ По теории относительности $p=mv=\dfrac{m_0v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$‍‍ ($m_0$‍‍ — масса покоя частицы, $v$‍‍ — её скорость). «Наш» импульс $p_{\min}\gg m_0c$‍.‍ Это означает, что $v\approx c$‍‍ и $p\approx mc$‍‍ ($m$‍‍ — масса релятивистского электрона). Значит, для электрона, «запертого» в ядре, $m\sim\dfrac{h}{Rc}$‍,‍ что даёт величину порядка массы покоящегося протона. Следовательно, близость массы ядра к сумме масс только протонов и нейтронов означает отсутствие электронов, «запертых» в ядре: попав в ядро, они с лёгкостью вырываются оттуда.

Вы видите, сколь существен размер области, в которой сосредоточены частицы. Эта область может либо строго ограничивать их движение, как ядро — движение протонов и нейтронов или атом — движение электронов, либо быть характерной лишь с точки зрения принципа неопределённости.

Читатель А. Петров (Ленинград). Если среднее расстояние между частицами $a$‍,‍ то $\Delta x\gtrless a$‍‍ и возможно даже $\Delta x=L$‍,‍ где $L$‍‍ — размер системы. Значит, $p_{\min}\sim\dfrac{h}{L}$‍!‍

Автор. Совершенно верно. Мы оцениваем характерную энергию, а она определяется средним расстоянием $a$‍.‍ Наименьшая же возможная энергия есть $\dfrac{h^2}{2mL^2}$‍,‍ причём возможны и промежуточные значения энергии, соответствующие $a\lt\Delta x\lt L$‍.‍

Поясню это замечание подробнее. Среднее расстояние между электронами в металле $a$‍‍ определяет характерное расстояние в принципе неопределённости и характерную энергию нулевых колебаний, оценивавшуюся нами. Однако, в принципе, отдельные электроны могут находиться в редко встречающихся состояниях, оказываясь друг от друга на расстоянии порядка размеров системы $L$‍.‍ В соответствии с этим минимальная кинетическая энергия (энергия нулевых колебаний), которую имеет очень небольшое число электронов, порядка $\dfrac{h^2}{2mL^2}$‍,‍ т. е. крайне мала.

И здесь уже проявляется кардинальное отличие фермиевских и бозевских частиц.

Поскольку бозевские частицы могут в любом состоянии собираться в неограниченном количестве, при очень низких температурах они начнут скапливаться именно в состояниях с ничтожной энергией — начинается так называемая конденсация Бозе — Эйнштейна в пространстве энергий.

Сказанного достаточно, чтобы получить основные характеристики Бозе-газа. Начнём с рассмотрения теплового излучения, сосредоточенного в полости нагретого тела (и находящегося в равновесии с этим телом). Так как тепловое излучение состоит из квантов электромагнитных волн (фотонов), число которых в единице объёма определяется температурой излучающего их нагретого тела, единственной энергетической характеристикой оказывается температура. Поэтому средняя энергия фотона $\varepsilon$‍‍ порядка $kT$‍.‍ Теперь у нас задано не размытие расстояния, а тепловое размытие энергии. Перепишем принцип неопределённости в несколько ином виде, введя характерное время $\Delta t$‍:‍ $$ h\sim\Delta p\Delta x\sim\dfrac{\Delta p}{\Delta t}\Delta x\Delta t. $$ Но изменение импульса за данное время есть произведение силы на время её действия: $\Delta p=F\Delta t$‍.‍ Значит, $\dfrac{\Delta p}{\Delta t}\Delta x=F\Delta x$‍‍ есть работа силы на пути $\Delta x$‍,‍ то есть, согласно закону сохранения энергии, изменение энергии $\Delta E$‍.‍ Таким образом, $$ \Delta E\Delta t\sim h $$ (очень важная форма принципа неопределённости).

Для фотонов $\Delta E\sim\varepsilon$‍,‍ а величина $\Delta t$‍‍ — порядка времени $\tau$‍,‍ характеризующего период колебаний фотонов. Поэтому $\varepsilon\tau\sim h$‍‍ и $$ \varepsilon\sim h\nu\left(\nu=\dfrac{1}{\tau}\right). $$

Из полученного равенства, учитывая, что $\varepsilon\sim kT$‍,‍ находим период колебаний $$ \tau=\dfrac{1}{\nu}\sim\dfrac{h}{kT} $$ и длину волны $\lambda$‍‍ (расстояние, проходимое волной, движущейся со скоростью света $c$‍‍ за период колебания $\tau$‍):‍ $$ \lambda=c\tau\sim\dfrac{ch}{kT}. $$

Длина волны определяет характерное расстояние, «приходящееся на квант»‍. Соответствующий объём есть $\lambda^3$‍,‍ так что число фотонов в единице объёма порядка $$ \lambda^{-3}\sim\left(\dfrac{kT}{ch}\right)^3. $$

Полная же их энергия в единице объёма, т. е. плотность энергии теплового излучения, $$ E_1\sim kT\cdot\lambda^{-3}\sim\dfrac{(kT)^4}{(ch)^3}. $$

Мы получили знаменитую формулу Стефана — Больцмана! Точная формула отличается коэффициентом $\dfrac{\pi^2}{20}\approx\dfrac12$‍.‍

А теперь перейдём от макромира газов к микромиру ядра. Попробуем оценить порядок величины ядерных сил, ничего не зная о них, кроме того, что радиус ядра $R\sim10^{-12}\text{–}10^{-13}~\text{см}$‍,‍ и оно состоит из взаимодействующих между собой протонов и нейтронов. Кинетическая энергия порядка $\dfrac{h^2}{MR^2}$‍.‍ А так как ядро не разваливается и не сжимается, а удерживается в равновесии ядерными силами, потенциальная энергия взаимодействия должна быть порядка кинетической!

Вот мы и добрались до энергии в тысячи миллиардов ($10^{12}$‍)‍ градусов. Не забывайте только, что это именно энергия, измеренная в градусах, а отнюдь не температура частиц в ядре!

А разница масс ядерных частиц — протона и нейтрона — порядка массы электрона $m_e$‍.‍ (Это не случайно, поскольку нейтрон может превращаться в протон и электрон.) Значит, связанная с зарядом энергия порядка $m_ec^2$‍,‍ т. е. «всего» порядка $10^{10}$‍‍ градусов и значительно меньше энергии ядерного взаимодействия. Поэтому ядерные силы практически не зависят от заряда, а говорить о нейтронах и протонах в ядре как об отдельных частицах не имеет смысла, и их называют просто «нуклонами».

А какова скорость ядерных частиц? В нерелятивистской механике $\dfrac{Mv^2}{2}\sim\dfrac{h^2}{MR^2}$‍‍ и $v\sim\dfrac{h}{MR}$‍.‍ Получается скорость порядка скорости света! Более точная оценка приводит к $v\sim0{,}1c$‍,‍ поэтому во многих случаях для частиц в ядре в грубом приближении удаётся ограничиться нерелятивистской теорией.

Как видите, понимание фундаментальных физических законов даёт фундаментальные физические следствия, из которых мы затронули лишь малую часть.

Упражнения

1. Определите зависимость давления от плотности частиц (их числа в единице объёма) в идеальном фермиевском газе‍ при низких температурах. Получите уравнение состояния такого газа (с точностью до численного множителя). Сравните его с уравнением состояния классического газа.
2. Найдите критерий квантовости идеального фермиевского газа.
3. Определите зависимость от температуры теплоёмкости бозевского газа при низких температурах.
4. Найдите критерий классичности и квантовости бозевского газа.
5. Оцените размер атома водорода.
6. Зная, что связь атомов в жидкостях и кристаллах определяется в основном электростатическим взаимодействием, оцените расстояние между атомами.