Квадратным трёхчленом называется многочлен второй степени общего вида
$$
ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.
$$
На вступительных экзаменах по математике задачи, прямо или косвенно связанные с квадратным трёхчленом, предлагаются довольно часто. Да это и не удивительно — в школьной программе уделяется много места и времени изучению квадратного уравнения
$$
ax^2+bx+c=0,
$$
выяснению свойств квадратичной функции
$$
y=ax^2+bx+c.
$$
Эта функция встречается и в физике; например, при описании движения материальной точки, брошенной наклонно к горизонту.
Школьники, конечно, хорошо знают все формулы, относящиеся к квадратному трёхчлену, умеют они и изобразить график квадратичной функции — параболу. Однако, когда речь идёт о решении конкретной задачи, большинство пытается действовать чисто аналитически, привлекая лишь формулы. Между тем очень часто использование геометрических соображений позволяет получить ответ проще и быстрее.
Мы покажем на нескольких примерах, как важно бывает при решении задач мыслить одновременно и на алгебраическом, и на геометрическом языках.
Для того чтобы проверить, насколько хорошо вы знакомы со свойствами квадратного трёхчлена, рассмотрим сперва такую задачу (она предлагалась на устных экзаменах в МГУ).
1. На рисунке 1 изображено несколько графиков квадратных трёхчленов. Рисунок приблизительный, масштаб не указан. Для каждой из этих парабол определить знаки соответствующих коэффициентов $a$, $b$ и $c$.
Возьмём, например, параболу 4; она является графиком некоторой квадратичной функции
$$
f(x)=ax^2+bx+c.
$$
Так как ветви этой параболы направлены вверх, то коэффициент $a\gt0$. (Докажите! Многие поступавшие объясняли это так: «В учебнике доказывается, что если $a\gt0$, то парабола направлена вверх». Убедительно ли такое объяснение?). Далее, коэффициент $c$ равен значению функции $y$ в точке $x=0$, т. е. $c=f(0)$. Из рисунка видно, что парабола 4 пересекает положительную полуось ординат, а потому $c\gt0$. Абсцисса вершины параболы равна $-\dfrac{b}{2a}$; из рисунка ясно, что она положительна. Мы уже знаем, что $a\gt0$, и, следовательно, $b\lt0$.
Ответ: $a\gt0$, $b\lt0$, $c\gt0$.
Остальные случаи, представленные на рисунке 1, читатели могут разобрать самостоятельно.
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
Во многих задачах необходимо выяснить поведение квадратичной функции $f(x)=ax^2+bx+c$ на заданном промежутке $(\alpha,\beta)$, описать расположение корней этого трёхчлена относительно фиксированной точки $x=\gamma$ оси абсцисс и т. д. В этих задачах геометрический язык делает рассуждения простыми и наглядными (и притом вполне строгими!).
2. На оси абсцисс указан промежуток $\alpha\lt x\lt\beta$. При каких $a$, $b$ и $c$ уравнение
$$
ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0,\quad b^2-4ac\gt0
$$
имеет на этом промежутке только один корень?
Иными словами, надо выяснить, при каких $a$, $b$ и $c$ график функции $f(x)=ax^2+bx+c$ пересекает ось абсцисс на промежутке $\alpha\lt x\lt\beta$ ровно один раз.
Если пытаться решить этот вопрос аналитически, с помощью формул для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного трёхчлена, то условия, при которых только один корень лежит между числами $\alpha$ и $\beta$, записываются весьма громоздко. Геометрический же подход даёт возможность получить это условие сразу и в простом виде.
Представим себе, как может вести себя график трёхчлена, удовлетворяющего поставленному в задаче условию; очевидно, возможно одно из четырёх положений, представленных на рисунке 2. Заметим, далее, что в каждом из этих случаев значения функции $f(x)$ в точках $\alpha$ и $\beta$ имеют противоположные знаки, т. е.
$$
f(\alpha)f(\beta)\lt0,
$$
или, более подробно,
$$
(a\alpha^2+b\alpha+c)(a\beta^2+b\beta+c)\lt0.
$$
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы уравнение $ax^2+bx+c=0$ (при $a\ne0$, $b^2-4ac\gt0$) имело ровно один корень на интервале $(\alpha,\beta)$.
Итак графики помогли нам найти это условие. Они же подсказывают, как доказать, что это условие необходимое и достаточное.
Необходимость. Пусть уравнение имеет два корня $x_1$ и $x_2$ ($x_1\lt x_2$), причём один корень лежит внутри интервала $(\alpha,\beta)$, а другой — вне его. Тогда одно из чисел $\alpha$, $\beta$ лежит внутри интервала $(x_1,x_2)$, а другое — вне его. Но в школьном учебнике доказывается, что значения функции $f(x)=ax^2+bx+c$ вне интервала $(x_1,x_2)$ между корнями и значения функции внутри этого интервала имеют противоположные знаки. Следовательно, $f(\alpha)f(\beta)\lt0$.
Достаточность. Пусть числа $f(\alpha)$ и $f(\beta)$ имеют разные знаки. Тогда $b^2-4ac\gt0$, уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два корня $x_1$ и $x_2$, и значения функции внутри интервала $(x_1,x_2)$ и вне его имеют противоположные знаки. Поэтому только одно из чисел $\alpha$, $\beta$ лежит внутри интервала $(x_1,x_2)$. Но это означает, в свою очередь, что только одно из чисел $x_1$, $x_2$ лежит внутри интервала $(\alpha,\beta)$.
Понятно, что квадратичная функция
$$
y=ax^2+bx+c,\quad a\ne0,\quad b^2-4ac=0,
$$
имеет лишь один корень $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, и он лежит на промежутке $(\alpha,\beta)$, если
$$
\alpha\lt-\dfrac{b}{2a}\lt\beta.
$$
Применим изложенные только что соображения для решения следующей задачи, взятой из практики устных экзаменов.
3. Доказать, что квадратный трёхчлен
$$
f(x)=(x-a)(x-b)+\lambda(x-c)(x-d)
$$
имеет действительные корни при любом действительном $\lambda$, если известно, что ровно одно из чисел $c$, $d$ лежит между $a$ и $b$.
Заметим, что
$$
f(c)=(c-a)(c-b),\quad\text{а}\quad f(d)=(d-a)(d-b).
$$
Согласно условию, одно из этих значений положительно, а другое — отрицательно. Следовательно, трёхчлен имеет два действительных корня, причём один из них лежит на интервале $(a,b)$, а другой вне его.
Рассматривая графики различных квадратных трёхчленов, легко заметить одно важное свойство: максимальные и минимальные значения квадратного трёхчлена на отрезке $[\alpha,\beta]$ могут достигаться только в трёх следующих точках: в точке $x=-\dfrac{b}{2a}$, если, конечно, она принадлежит отрезку $[\alpha,\beta]$; в точке $\alpha$; в точке $\beta$ (в концах отрезка). Докажем это; будем считать, что $a\gt0$ (случай $a\lt0$ разбирается аналогично).
Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
$$
f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}.
$$
Воспользовавшись такой записью, нетрудно показать, что при $a\gt0$ функция $f(x)$ в точке $x=-\dfrac{b}{2a}$ имеет абсолютный минимум, равный $c-\dfrac{b^2}{4a}$; на интервале $\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right)$ монотонно убывает, а на интервале $\left(-\dfrac{b}{2a},\infty\right)$ монотонно возрастает.
Поэтому, если
$$
\alpha\le-\dfrac{b}{2a}\le\beta,
$$
то функция $f(x)$ на отрезке $[\alpha,\beta]$ принимает наименьшее значение $c-\dfrac{b^2}{4a}$ в точке $-\dfrac{b}{2a}$ (см. график 1 на рисунке 3).
Наибольшее значение, в силу монотонности, достигается в одном из концов интервала.
Рисунок номер 3
Пусть теперь точка $-\dfrac{b}{2a}$ находится вне отрезка $[\alpha,\beta]$ (см. графики 2, 3 на рисунке 3).
Тогда отрезок $[\alpha,\beta]$ принадлежит одному из интервалов монотонности, и, следовательно, минимальное значение принимается в одном из его концов, а максимальное — в другом.
Попытайтесь теперь сформулировать необходимое и достаточное условие, при котором квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два корня на заданном промежутке $\alpha\lt x\lt\beta$.
Замеченное свойство квадратного трёхчлена облегчит нам решение следующих задач.
4. (МГУ, мехмат, 1970). При каких значениях параметра $\alpha$ неравенство
$$
\sin^6x+\cos^6x+\alpha\sin x\cos x\ge0
$$
выполняется для всех $x$?
Преобразуем левую часть неравенства:
$$
(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3+\alpha\sin x\cos x=
$$
$$
=(\sin^2x+\cos^2x)(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)+\alpha\sin x\cos x=
$$
$$
=[(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x]+\alpha\sin x\cos x=
$$
$$
=1-\dfrac34\sin^22x+\dfrac{\alpha}{2}\sin2x.
$$
Обозначим $\sin2x$ через $y$; очевидно, $-1\le y\le1$, коэффициент при $y^2$ отрицателен, поэтому на отрезке $[-1;1]$ минимум квадратного трёхчлена $-\dfrac34y^2+\dfrac{\alpha}{2}y+1$ достигается в концах отрезка.
Следовательно, неравенство
$$
-\dfrac34y^2+\dfrac{\alpha}{2}y+1\ge0
$$
выполняется на всём отрезке $[-1;1]$ в том и только в том случае, когда трёхчлен неотрицателен в концах отрезка:
$$
\begin{cases}
-\dfrac34(-1)^2+\dfrac{\alpha}{2}(-1)+1\ge0,\\[2mm]
-\dfrac34\cdot1^2+\dfrac{\alpha}{2}\cdot1+1\ge0,
\end{cases}
$$
т. е. $\alpha\le\dfrac12$ и $\alpha\ge-\dfrac12$.
Ответ: данное неравенство выполняется для всех $x$ при $-\dfrac12\le\alpha\le\dfrac12$.
5. (ЛГУ, матмех, 1966). Ракета должна пройти отрезок, равный $H$. Она начинает движение с постоянной скоростью $v$ и в любой момент времени может включить дополнительный двигатель, дающий постоянное ускорение $a$ ($a\gt0$) и работающий до конца пути. Расход топлива на участке пути с постоянной скоростью пропорционален времени движения, а при включённом дополнительном двигателе — квадрату времени с коэффициентами пропорциональности $k_1$ и $k_2$ соответственно ($k_1,k_2\gt0$). Какое время ракета должна двигаться с включённым дополнительным двигателем, чтобы общий расход топлива был наименьшим?
Пусть $\tau$ — время движения ракеты с постоянной скоростью, $t$ — время движения с включённым дополнительным двигателем, $A$ — расход топлива. Из уравнений:
$$
H=v\tau+vt+\dfrac{at^2}{2},\qquad A=k_1\tau+k_2t^2
$$
находим
$$
\tau=\dfrac1v\left(H-vt-\dfrac{at^2}{2}\right),\qquad A=\left(k_2-\dfrac{ak_1}{2v}\right)t^2-k_1t+\dfrac{k_1H}{v}.\qquad(*)
$$
Заметим, что $0\le t\le t_0$, где $t_0$ — положительный корень уравнения
$$
H=vt+\dfrac{at^2}{2},\qquad t_0=\dfrac{-v+\sqrt{v^2+2aH}}{a}.
$$
(Это время полёта в том случае, если двигатель включён с самого начала.) Нужно найти минимум функции $A=A(t)$ $(*)$, заданной на отрезке $[0,t_0]$.
1) $k_2-\dfrac{ak_1}{2v}\lt0$. Вершина параболы $A=A(t)$ имеет абсциссу
$$
t^*=\dfrac{k_1}{2\left(k_2-\dfrac{ak_1}{2v}\right)}\lt0.
$$
Парабола расположена так, как указано на рисунке 4. Минимум при $t=t_0$.
Рисунок номер 4. Минимум при t=t₀.
2) $k_2-\dfrac{ak_1}{2v}=0$; $A=-k_1t+\dfrac{k_1H}{v}$. Минимум при $t=t_0$ (рис. 5).
Рисунок номер 5. Минимум при t=t₀.
3) $k_2-\dfrac{ak_1}{2v}\gt0$. Абсцисса вершины параболы
$$
t^*=\dfrac{vk_1}{2vk_2-ak_1}\gt0.
$$
Если $t^*\le t_0$, то минимум при $t=t^*$ (рис. 6).
Если $t^*\ge t_0$, то минимум при $t=t_0$ (рис. 7).
Рисунок номер 6. Минимум при t=t*.
Рисунок номер 7. Минимум при t=t₀.
Ответ: Если $2vk_2-ak_1\gt0$ и
$$
\dfrac{vk_1}{2vk_2-ak_1}\le\dfrac{-v+\sqrt{v^2+2aH}}{a},
$$
то
$$
t=\dfrac{vk_1}{2vk_2-ak_1}.
$$
Если $2vk_2-ak_1\le0$ или $2vk_2-ak_1\gt0$ и
$$
\dfrac{vk_1}{2vk_2-ak_1}\gt\dfrac{-v+\sqrt{v^2+2aH}}{a},
$$
то
$$
t=\dfrac{-v+\sqrt{v^2+2aH}}{a}.
$$
Упражнения
- Указать условия, при которых оба корня трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ меньше заданного числа $\alpha$.
- Указать условия, при которых данное число $\alpha$ лежит между корнями трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$.
- (МГУ, отделение структурной лингвистики, 1968). Найти все те значения параметра $b$, при которых оба корня квадратного уравнения $x^2-2bx-1=0$ действительны и не превосходят по модулю 2.
- (МГУ, физфак, 1965). Найти все значения $a$, при которых корни уравнения $x^2+x+a=0$ действительны и больше $a$.
- (МГУ, отделение биологии, 1969). Найти все значения $a$, при которых система
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=a,\\
x-y=a
\end{cases}
$$
имеет единственное решение.
- Радиус основания прямого кругового конуса равен $R$, а его высота равна $H$. Определить высоту цилиндра, вписанного в этот конус и имеющего наибольшую боковую поверхность.
- (МГУ, отделение структурной лингвистики, 1969). Указать все корни уравнения $x^2+1=\cos x$.
- (МГУ, физфак, 1964). Найти все значения $m$, при которых выражение $x^2+mx+m^2+6m$ будет отрицательно при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенствам $1\lt x\lt2$.
- (МГУ, физфак, 1963). Снаряд вылетает из орудия под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $v_0$. В самой верхней точке траектории снаряд разрывается на две равные по массе части, причём скорости частей тут же после взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Одна половина снаряда упала на расстоянии $S$ от места выстрела. Определить место падения второй половины, если известно, что она упала дальше первой. Считать, что полёт снаряда происходит в безвоздушном пространстве.
