Текст статьи Беляев С. А. Кинематика и связи // Квант. — 1971. — № 2. — С. 44—46.
Кинематика часто рассматривает движение абсолютно твёрдых тел, т. е. тел, расстояния между любыми двумя точками которых остаются постоянными. При этом существуют методы, значительно упрощающие решение кинематических задач. С одним из них мы сейчас познакомимся.
Пусть тела при движении соприкасаются, и скольжение между ними отсутствует. Тогда скорости обоих тел в точке соприкосновения полностью совпадают (рис. 1). Если же между телами есть проскальзывание, то совпадают лишь проекции скоростей на перпендикуляр к касательной в точке соприкосновения. При этом достаточно, чтобы касательная существовала хотя бы для одной из скользящих поверхностей (рис. 2).
Рассмотрим несколько примеров.
1. Стержень
Решение. Стержень и кирпич соприкасаются в точке
2. Источник света
Решение. В данной задаче в роли стержня выступает луч
Пусть теперь стержень
Решим две задачи.
3. Стержень
Решение. Так как длина стержня
Рассмотрим случай, когда длина стержня изменяется во время движения («стержнем» может служить, например, отрезок, соединяющий две заданные точки, расстояние между которыми меняется). Тогда соотношение, связывающее проекции скоростей концов стержня, принимает вид $$
|v''_A-v''_B|=u,
$$
где
4. Лодку с крутого берега тянут за верёвку с постоянной скоростью
Решение. В данном случае нас интересует часть верёвки
Попробуйте самостоятельно решить подобные задачи.
- Стержень
$OA$ вращается по часовой стрелке с угловой скоростью$\omega$, приводя в движение цилиндр радиуса$r$ (рис. 8). Скольжения между цилиндром и плоскостью нет. Найти зависимость скорости цилиндра$v$ от угла$\alpha$. - Кривошип
$AO$ длины$r$ (рис. 9) вращается с угловой скоростью$\omega$, длина шатуна$AB$ равна$l$. Найти скорость$v$ точки$B$ шатуна, если$\angle ABO=\alpha$. - Шарик, предварительно раскрутив вокруг оси, кладут на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения шарика о поверхность отличен от нуля. Под действием силы трения шарик изменяет своё первоначальное вращательное движение и начинает каким-то образом двигаться по поверхности. Описать, как будет происходить это движение.
Ответы, указания, решения
- В точке
$A$ проекции скоростей цилиндра$v_{\text{АЦ}}$ и стержня$v_{AC}$ на направление$AO'$ ($AO'\perp OA$) совпадают. Значение$v_{AC}$ равно$\omega\cdot OA=\omega\cdot r\cdot\ctg\dfrac{\alpha}{2}$. Заметим, что мгновенная ось вращения цилиндра проходит через точку$B$. Поэтому$v_{\text{АЦ}}$ направлена перпендикулярно$AB$ и равна$\Omega\cdot AB$, где$\Omega$ — угловая скорость вращения цилиндра. Поскольку $$ \Omega=\dfrac{v}{r}\quad\text{и}\quad AB=2r\cos\dfrac{\alpha}{2}, $$ получим $$ v_{\text{АЦ}}=\dfrac{v}{r}\cdot2r\cos\dfrac{\alpha}{2}=2v\cos\dfrac{\alpha}{2}. $$ Из условия равенства проекций имеем $$ v_{AC}=v_{\text{АЦ}}\cos\left(\pi-\dfrac{\alpha}{2}\right) $$ или $$ \omega r\ctg\dfrac{\alpha}{2}=2v\cos\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}, $$ откуда $$ \dfrac{\omega r}{2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\omega r}{1-\cos\alpha}. $$ - Поскольку длина
$AB$ неизменна, проектируя скорости концов шатуна на направление$AB$, получим($v_A=\omega r$): $$ v\cos\alpha=\omega r\cos(\pi-\alpha-\beta), $$ или $$ v=\omega r\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha}. $$ Воспользовавшись теоремой синусов $$ \dfrac{\sin\alpha}{r}=\dfrac{\sin\beta}{l}, $$ можно найти $$ v=\omega r\left(\tg\alpha\sqrt{1-\left(\dfrac{l}{r}\sin\alpha\right)^2}+\dfrac{l}{r}\sin\alpha\right)=\omega l\cdot\tg\alpha\times $$ $$ \times\left(\sqrt{\left(\dfrac{r}{l}\right)^2-\sin^2\alpha}+\cos\alpha\right). $$