Сканави М. И.

Метод подстановки при решении уравнений и систем уравненийСканави М. И. Метод подстановки при решении уравнений и систем уравнений // Квант. — 1971. — № 1. — С. 41⁠—⁠44.‍‍

Метод подстановки заключается в переходе от искомой величины к некоторой другой величине. Он позволяет свести решаемые уравнения к более просто устроенным или к уравнениям изученных типов. Велико разнообразие случаев, когда приходится пользоваться этим методом. Охватить их какой-либо общей рекомендацией, разумеется, невозможно. Поэтому успех в выборе целесообразной подстановки существенно зависит от таких достоинств решающего, как его опыт, смекалка, интуиция... Рассматриваемые ниже примеры демонстрируют метод подстановки в действии.

Пример 1. Решить уравнение $$ \dfrac{1}{x(x+2)}-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{12}. $$

Решение. Разность дробей, расположенных в левой части данного уравнения, представляет собой дробь, у которой знаменатель есть многочлен четвёртой степени относительно $x$‍.‍ В таком случае шаблонная обработка уравнения приведёт его к уравнению четвёртой степени, что решающего устроить не может. После обдумывания начинаем понимать, что полезно выбрать подстановку $$ x^2+2x=z, \tag{*} $$ поскольку она преобразует данное уравнение к значительно более простому: $$ \dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{z+1}=\dfrac{1}{12}. $$

Относительно $z$‍‍ получаем квадратное уравнение с корнями $z_1=3$‍‍ и $z_2=-4$‍.‍ Подстановка (*) приводит к двум квадратным уравнениям относительно $x$‍:‍ $$ x^2+2x=3\quad\text{и}\quad x^2+2x=-4. $$ Из них мы находим все четыре корня данного уравнения: $$ \begin{gathered} x_1=1, \quad x_2=-3,\\ x_3=-1+\sqrt{3}i,\quad x_4=-1-\sqrt{3}i \end{gathered}$$ и непосредственной проверкой убеждаемся в пригодности каждого из них.

Пример 2. Решить уравнение $$ 4x^4+12x^3-47x^2+12x+4=0. $$

Решение. Предложено для решения так называемое возвратное уравнение — коэффициенты членов, равноотстоящих от концов его левой части, равны. Для возвратных уравнений разработан стандартный способ приведения их к уравнению более низкой степени. Представление об этом способе можно получить, проследя за тем, как он применяется к уравнению, которое предстоит решить. Заметив, что $x \neq 0$‍,‍ разделим уравнение на $x^2$‍,‍ получим $$ 4x^2+12x-47+\dfrac{12}{x}+\dfrac{4}{x^2}=0. $$

Теперь следующим образом сгруппируем члены: $$ 4\left( x^2+\dfrac{1}{x^2} \right)+12\left( x+\dfrac{1}{x} \right)-47=0. $$

При такой записи уравнения уже нетрудно сообразить, что оказывается эффективной подстановка $$ x+\dfrac{1}{x}=u. $$ В самом деле, находим, что тогда $$ x^2+\dfrac{1}{x^2}=u^2-2 $$ и решаемое уравнение преобразуется к уравнению $$ 4u^2+12u-55=0, $$ квадратному относительно новой величины $u$‍.‍ Решив его, найдём, что $$ u_1=\dfrac{5}{2} \quad\text{и}\quad u_2=-\dfrac{11}{2}. $$ Для отыскания $x$‍‍ получаем два уравнения $$ x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2},\quad x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{11}{2}. $$ Из них находим, что $$\begin{gathered} x_1=2, \quad x_2=\dfrac{1}{2},\\ x_3=\dfrac{-11+\sqrt{105}}{4},\quad x_4=\dfrac{-11-\sqrt{105}}{4}. \end{gathered}$$

Расширяя границы нашей беседы, сообщим читателю, что если приходится решать возвратное уравнение нечётной степени, то какова бы ни была эта степень, один корень такого уравнения пишется сразу — он равен $(-1)$‍.‍ Проверить это можно на примере возвратного уравнения пятой степени $$ ax^5+bx^4+cx^3+cx^2+bx+a=0. $$ Если $x=-1$‍,‍ то $$ -a+b-c+c-b+a=0. $$

После деления на $(x+1)$‍‍ это уравнение сводится к возвратному уравнению четвёртой степени, которое можно в общем виде решить при помощи способа, показанного при решении примера 2.

Пример 3. Решить уравнение $$ 10x^3-3x^2-2x+1=0. $$

Решение. Читателю должно быть известно, что целые корни алгебраического уравнения следует искать среди делителей свободного члена. Но здесь он равен единице, а $1$‍‍ или $-1$‍‍ как легко проверить, корнями данного уравнения не являются. Итак, целых корней данное уравнение не имеет. Посоветуем читателю для всех уравнений, у которых нет целых корней, попробовать подстановку $$ x=\dfrac{1}{y}. $$ В нашем случае эта подстановка приводит к уравнению $$\begin{gathered} \dfrac{10}{y^3}-\dfrac{3}{y^2}-\dfrac{2}{y}+1=0,\\ y^3-2y^2-3y+10=0. \end{gathered}$$

Испытав делители свободного члена этого уравнения, с радостью обнаруживаем, что делитель $(-2)$‍‍ служит его корнем. В таком случае, понизив при помощи этого корня степень уравнения, находим остальные два корня $ y_2=2+i$‍‍ и $y_3=2-i. $‍‍ Следовательно, $$ x_1=-\dfrac{1}{2}, \quad x_2=\dfrac{1}{2+i}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}i, \quad x_3=\dfrac{1}{2-i}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}i. $$

Пример 4. Решить уравнение $$ \sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}. $$

Решение. Если пытаться освободить уравнение от радикалов возведением его в квадрат, то страшно подумать о том, какая получится степень уравнения после того, как все радикалы исчезнут! Ясно, что этот приём ничего хорошего нам не сулит. Но и тут после обдумывания можно заключить, что подстановка $$ x^2+x+1=t $$ приведёт нас к более простому уравнению относительно $t$‍,‍ а именно к такому $$ \sqrt{t+3}+\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}. $$

Это иррациональное уравнение посоветуем решать так (приём, который мы сейчас используем, хорош и для многих других иррациональных уравнений, содержащих радикалы второй степени!): составим разность подкоренных выражений радикалов, расположенных слева, и получим, что  $$ (t+3)-t=3. $$ Теперь эту разность разложим на множители (при помощи формулы для разности квадратов) и найдём, что $$ (\sqrt{t+3}+\sqrt{t})(\sqrt{t+3}-\sqrt{t})=3. $$

Отсюда делением на первоначальное уравнение (относительно $t$‍)‍ получаем, что $$ \sqrt{t+3}-\sqrt{t}=\dfrac{3}{\sqrt{2t+7}}. $$

Вычитанием из первоначального уравнения того, что мы сейчас получили, обнаруживаем, что $$\begin{gathered} 2\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}-\dfrac{3}{\sqrt{2t+7}},\\ 2\sqrt{t}=\dfrac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \quad \sqrt{t}=\dfrac{t+2}{\sqrt{2t+7}}. \end{gathered}$$

Процедура, которую мы сейчас провели, позволяет освободиться от радикалов посредством только одного возведения частей уравнения в квадрат. Проделаем это: $$ t=\dfrac{(t+2)^2}{2t+7}, \quad t^2+3t-4=0. $$

Отсюда $t_1=1$‍,‍ $t_2=-4$‍.‍ Далее заметим, что нас интересуют только положительные значения $t$‍,‍ поскольку $$ t=x^2+x+1 > 0 $$ для всех значений $x$‍.‍ Отбрасываем поэтому непригодный корень $t_2$‍‍ и получаем для отыскания $x$‍‍ одно квадратное уравнение $$ x^2+x+1=1, \quad x^2+x=0 $$ с корнями $x_1=-1$‍‍ и $x_2=0$‍.‍ Как нетрудно проверить, оба они являются корнями данного иррационального уравнения.

Пример 5. Решить систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^3}{y}+xy=40, \\[9pt] \dfrac{y^3}{x}+xy=10. \end{array}\right. $$ (Ограничиться отысканием действительных решений.)

Решение. Метод подстановки при решении систем уравнений учащимися практикуется значительно реже. Вместе с тем и в этих случаях он сплошь и рядом оказывается весьма эффективным. Прежде, чем приступить к решению предложенной системы, я позволю себе высказать некоторые общие соображения по поводу метода подстановки при решении систем двух уравнений с двумя искомыми величинами. Если эти последние обозначены буквами $x$‍‍ и $y$‍,‍ то часто бывает полезным перейти к новым величинам $\rho$‍‍ и $\varphi$‍‍ в соответствии со следующими равенствами: $$ x=\rho\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\varphi.\tag{!} $$

Читатель, достаточно хорошо знакомый с методом координат на плоскости, поймёт, что если $x$‍‍ и $y$‍‍ служат декартовыми координатами некоторой точки, то $\rho$‍‍ и $\varphi$‍‍ являются так называемыми полярными координатами той же точки. Геометрический смысл полярных координат и их связь с декартовыми станет ясным из рисунка, который мы всем рекомендуем сейчас внимательно рассмотреть:

Замечаем, что начало координат $O$‍‍ имеет $\rho=0$‍,‍ а угол $\varphi$‍‍ для него определённого значения не имеет. Все остальные точки плоскости будут снабжены единственной парой полярных координат $(\rho, \varphi)$‍,‍ если потребовать, чтобы было $$ 0\leq\rho\lt+\infty,\quad0\leq\varphi\lt2\pi. $$

Используем равенства (!) для решения данной системы уравнений, для чего вместо $x$‍‍ и $y$‍‍ в оба уравнения системы подставим их выражения через $\rho$‍‍ и $\varphi$‍;‍ получим, что $$ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi}+(\rho \cos \varphi) (\rho \sin \varphi)=40, \\[9pt] \dfrac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi}+(\rho \cos \varphi) (\rho \sin \varphi)=10. \end{array}\right. $$ или после обработки, что $$ \begin{cases} \rho^2 \ctg \varphi=40, \\ \rho^2 \tg \varphi=10. \end{cases} $$

Делением первого уравнения на второе найдём, что $$ \ctg^2 \varphi=4. $$

Отсюда $\ctg \varphi=2$‍‍ или $\ctg \varphi=-2$‍.‍ Второе (отрицательное) значение $\ctg \varphi$‍‍ немедленно отбрасываем, так как у нас $\ctg \varphi$‍‍ и $\rho^2$‍‍ имеют одинаковые знаки, а $\rho^2$‍‍ не может быть отрицательным. Теперь по известному котангенсу надо найти синус и косинус угла $\varphi$‍.‍ Сделаем это без слов: $$ \begin{gathered} \cosec^2 \varphi=1+\ctg^2 \varphi=5,\\ \begin{alignat*}{2} \cosec \varphi &= \sqrt{5},&\quad \cosec \varphi &= -\sqrt{5},\\ \sin \varphi &= \dfrac{1}{\sqrt{5}}, &\quad \sin \varphi &= -\dfrac{1}{\sqrt{5}},\\ \cos \varphi &= \dfrac{2}{\sqrt{5}}, &\quad \cos \varphi &= -\dfrac{2}{\sqrt{5}}. \end{alignat*} \end{gathered} $$ Далее найдём $\rho$‍‍ из того, что $$ \rho^2 \ctg \varphi=\rho^2 \cdot 2=40, \quad \rho^2=20. $$ Получаем, что $\rho=2 \sqrt{5}$‍.‍ При помощи равенств (!) по известным $\rho$‍‍ и $\varphi$‍‍ в качестве решений данной системы уравнений найдём следующие две пары чисел: $$\begin{align*} x_1 &= 2 \sqrt{5} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}}=4,\\ y_1 &= 2 \sqrt{5} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}}=2;\\ x_2 &= 2 \sqrt{5} \left( -\dfrac{2}{\sqrt{5}} \right)=-4,\\ y_2 &= 2 \sqrt{5} \left( -\dfrac{1}{\sqrt{5}} \right)=-2. \end{align*}$$

Неверно считать, что данную систему можно решить только при помощи перехода к полярным координатам (её можно решить, например, ещё и так: перенести $xy$‍‍ из левых частей уравнений в правые, затем результаты перемножить и получить квадратное уравнение относительно $xy$‍;‍ дальнейшее очевидно). Между тем этот приём следует взять на вооружение. Он позволяет в известном смысле регламентировать наши преобразования и даёт возможность пользоваться всем аппаратом тригонометрии. В каких случаях выгодно пользоваться этим приёмом, а в каких нет? Ответить на этот вопрос поможет ваш личный опыт, обогатить который можно собственным трудом!

Пока до вступительных экзаменов есть время — действуйте!