Метод подстановки заключается в переходе от искомой величины к некоторой другой величине. Он позволяет свести решаемые уравнения к более просто устроенным или к уравнениям изученных типов. Велико разнообразие случаев, когда приходится пользоваться этим методом. Охватить их какой-либо общей рекомендацией, разумеется, невозможно. Поэтому успех в выборе целесообразной подстановки существенно зависит от таких достоинств решающего, как его опыт, смекалка, интуиция... Рассматриваемые ниже примеры демонстрируют метод подстановки в действии.
Пример 1. Решить уравнение
$$
\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}.
$$
Решение. Разность дробей, расположенных в левой части данного уравнения, представляет собой дробь, у которой знаменатель есть многочлен четвёртой степени относительно $x$. В таком случае шаблонная обработка уравнения приведёт его к уравнению четвёртой степени, что решающего устроить не может. После обдумывания начинаем понимать, что полезно выбрать подстановку
$$
x^2 + 2x = z, \tag{*}
$$
поскольку она преобразует данное уравнение к значительно более простому:
$$
\frac{1}{z} - \frac{1}{z+1} = \frac{1}{12}.
$$
Относительно $z$ получаем квадратное уравнение с корнями $z_1 = 3$ и $z_2 = -4$. Подстановка (*) приводит к двум квадратным уравнениям относительно $x$:
$$
x^2 + 2x = 3\quad\text{и}\quad x^2 + 2x = -4.
$$
Из них мы находим все четыре корня данного уравнения:
$$ \begin{gathered}
x_1 = 1, \quad x_2 = -3,\\
x_3 = -1 + \sqrt{3}i,\quad x_4 = -1 - \sqrt{3}i
\end{gathered}$$
и непосредственной проверкой убеждаемся в пригодности каждого из них.
Пример 2. Решить уравнение
$$
4x^4 + 12x^3 - 47x^2 + 12x + 4 = 0.
$$
Решение. Предложено для решения так называемое возвратное уравнение — коэффициенты членов, равноотстоящих от концов его левой части, равны. Для возвратных уравнений разработан стандартный способ приведения их к уравнению более низкой степени. Представление об этом способе можно получить, проследя за тем, как он применяется к уравнению, которое предстоит решить. Заметив, что $x \neq 0$, разделим уравнение на $x^2$, получим
$$ 4x^2 + 12x - 47 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0. $$
Теперь следующим образом сгруппируем члены:
$$
4\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 12\left( x + \frac{1}{x} \right) - 47 = 0.
$$
При такой записи уравнения уже нетрудно сообразить, что оказывается эффективной подстановка
$$
x + \frac{1}{x} = u.
$$
В самом деле, находим, что тогда
$$
x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 - 2
$$
и решаемое уравнение преобразуется к уравнению
$$
4u^2 + 12u - 55 = 0,
$$
квадратному относительно новой величины $u$. Решив его, найдём, что $$
u_1 = \frac{5}{2} \quad\text{и}\quad u_2 = -\frac{11}{2}.
$$
Для отыскания $x$ получаем два уравнения
$$
x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2},\quad
x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2}.
$$
Из них находим, что $$\begin{gathered}
x_1 = 2, \quad x_2 = \frac{1}{2},\\
x_3 = \frac{-11 + \sqrt{105}}{4},\quad
x_4 = \frac{-11 - \sqrt{105}}{4}.
\end{gathered}$$
Расширяя границы нашей беседы, сообщим читателю, что если приходится решать возвратное уравнение нечётной степени, то какова бы ни была эта степень, один корень такого уравнения пишется сразу — он равен $(-1)$. Проверить это можно на примере возвратного уравнения пятой степени
$$
ax^5 + bx^4 + cx^3 + cx^2 + bx + a = 0.
$$
Если $x = -1$, то $$
-a + b - c + c - b + a = 0.
$$
После деления на $(x+1)$ это уравнение сводится к возвратному уравнению четвёртой степени, которое можно в общем виде решить при помощи способа, показанного при решении примера 2.
Пример 3. Решить уравнение
$$
10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0.
$$
Решение. Читателю должно быть известно, что целые корни алгебраического уравнения следует искать среди делителей свободного члена. Но здесь он равен единице, а $1$ или $-1$ как легко проверить, корнями данного уравнения не являются. Итак, целых корней данное уравнение не имеет. Посоветуем читателю для всех уравнений, у которых нет целых корней, попробовать подстановку
$$
x = \frac{1}{y}.
$$
В нашем случае эта подстановка приводит к уравнению
$$\begin{gathered}
\frac{10}{y^3} - \frac{3}{y^2} - \frac{2}{y} + 1 = 0,\\
y^3 - 2y^2 - 3y + 10 = 0.
\end{gathered}$$
Испытав делители свободного члена этого уравнения, с радостью обнаруживаем, что делитель $(-2)$ служит его корнем. В таком случае, понизив при помощи этого корня степень уравнения, находим остальные два корня $ y_2 = 2 + i$ и $y_3 = 2 - i. $ Следовательно,
$$
x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2 + i} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i, \quad x_3 = \frac{1}{2 - i} = \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i.
$$
Пример 4. Решить уравнение
$$
\sqrt{x^2 + x + 4} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \sqrt{2x^2 + 2x + 9}.
$$
Решение. Если пытаться освободить уравнение от радикалов возведением его в квадрат, то страшно подумать о том, какая получится степень уравнения после того, как все радикалы исчезнут! Ясно, что этот приём ничего хорошего нам не сулит. Но и тут после обдумывания можно заключить, что подстановка
$$
x^2 + x + 1 = t
$$
приведёт нас к более простому уравнению относительно $t$, а именно к такому
$$
\sqrt{t + 3} + \sqrt{t} = \sqrt{2t + 7}.
$$
Это иррациональное уравнение посоветуем решать так (приём, который мы сейчас используем, хорош и для многих других иррациональных уравнений, содержащих радикалы второй степени!): составим разность подкоренных выражений радикалов, расположенных слева, и получим, что $$
(t+3) - t = 3.
$$
Теперь эту разность разложим на множители (при помощи формулы для разности квадратов) и найдём, что $$
(\sqrt{t+3} + \sqrt{t})(\sqrt{t+3} - \sqrt{t}) = 3.
$$
Отсюда делением на первоначальное уравнение (относительно $t$) получаем, что $$
\sqrt{t+3} - \sqrt{t} = \frac{3}{\sqrt{2t+7}}.
$$
Вычитанием из первоначального уравнения того, что мы сейчас получили, обнаруживаем, что $$\begin{gathered}
2\sqrt{t} = \sqrt{2t+7} - \frac{3}{\sqrt{2t+7}},\\
2\sqrt{t} = \frac{2t+4}{\sqrt{2t+7}}, \quad \sqrt{t} = \frac{t+2}{\sqrt{2t+7}}.
\end{gathered}$$
Процедура, которую мы сейчас провели, позволяет освободиться от радикалов посредством только одного возведения частей уравнения в квадрат. Проделаем это:
$$
t = \frac{(t+2)^2}{2t+7}, \quad t^2 + 3t - 4 = 0.
$$
Отсюда $t_1 = 1$, $t_2 = -4$. Далее заметим, что нас интересуют только положительные значения $t$, поскольку
$$
t = x^2 + x + 1 > 0
$$
для всех значений $x$. Отбрасываем поэтому непригодный корень $t_2$ и получаем для отыскания $x$ одно квадратное уравнение
$$
x^2 + x + 1 = 1, \quad x^2 + x = 0
$$
с корнями $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Как нетрудно проверить, оба они являются корнями данного иррационального уравнения.
Пример 5. Решить систему уравнений
$$
\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{x^3}{y} + xy = 40, \\[9pt]
\dfrac{y^3}{x} + xy = 10.
\end{array}\right.
$$
(Ограничиться отысканием действительных решений.)
Решение. Метод подстановки при решении систем уравнений учащимися практикуется значительно реже. Вместе с тем и в этих случаях он сплошь и рядом оказывается весьма эффективным. Прежде, чем приступить к решению предложенной системы, я позволю себе высказать некоторые общие соображения по поводу метода подстановки при решении систем двух уравнений с двумя искомыми величинами. Если эти последние обозначены буквами $x$ и $y$, то часто бывает полезным перейти к новым величинам $\rho$ и $\varphi$ в соответствии со следующими равенствами:
$$
x = \rho \cos \varphi,\quad y = \rho \sin \varphi.\tag{!}
$$
Читатель, достаточно хорошо знакомый с методом координат на плоскости, поймёт, что если $x$ и $y$ служат декартовыми координатами некоторой точки, то $\rho$ и $\varphi$ являются так называемыми полярными координатами той же точки. Геометрический смысл полярных координат и их связь с декартовыми станет ясным из рисунка, который мы всем рекомендуем сейчас внимательно рассмотреть:
Рис. номер рисунка
Замечаем, что начало координат $O$ имеет $\rho = 0$, а угол $\varphi$ для него определённого значения не имеет. Все остальные точки плоскости будут снабжены единственной парой полярных координат $(\rho, \varphi)$, если потребовать, чтобы было
$$
0 \leq \rho < +\infty,\quad 0 \leq \varphi < 2\pi.
$$
Используем равенства (!) для решения данной системы уравнений, для чего вместо $x$ и $y$ в оба уравнения системы подставим их выражения через $\rho$ и $\varphi$; получим, что $$
\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\rho^3 \cos^3 \varphi}{\rho \sin \varphi} + (\rho \cos \varphi) (\rho \sin \varphi) = 40, \\[9pt]
\dfrac{\rho^3 \sin^3 \varphi}{\rho \cos \varphi} + (\rho \cos \varphi) (\rho \sin \varphi) = 10.
\end{array}\right.
$$
или после обработки, что $$
\begin{cases}
\rho^2 \ctg \varphi = 40, \\
\rho^2 \tg \varphi = 10.
\end{cases}
$$
Делением первого уравнения на второе найдём, что $$
\ctg^2 \varphi = 4.
$$
Отсюда $\ctg \varphi = 2$ или $\ctg \varphi = -2$. Второе (отрицательное) значение $\ctg \varphi$ немедленно отбрасываем, так как у нас $\ctg \varphi$ и $\rho^2$ имеют одинаковые знаки, а $\rho^2$ не может быть отрицательным. Теперь по известному котангенсу надо найти синус и косинус угла $\varphi$. Сделаем это без слов:
$$
\begin{gathered}
\cosec^2 \varphi = 1 + \ctg^2 \varphi = 5,\\
\begin{alignat*}{2}
\cosec \varphi &= \sqrt{5},&\quad \cosec \varphi &= -\sqrt{5},\\
\sin \varphi &= \frac{1}{\sqrt{5}}, &\quad \sin \varphi &= -\frac{1}{\sqrt{5}},\\
\cos \varphi &= \frac{2}{\sqrt{5}}, &\quad \cos \varphi &= -\frac{2}{\sqrt{5}}.
\end{alignat*}
\end{gathered}
$$
Далее найдём $\rho$ из того, что $$
\rho^2 \ctg \varphi = \rho^2 \cdot 2 = 40, \quad \rho^2 = 20.
$$
Получаем, что $\rho = 2 \sqrt{5}$. При помощи равенств (!) по известным $\rho$ и $\varphi$ в качестве решений данной системы уравнений найдём следующие две пары чисел:
$$\begin{align*}
x_1 &= 2 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 4,\\
y_1 &= 2 \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = 2;\\
x_2 &= 2 \sqrt{5} \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \right) = -4,\\
y_2 &= 2 \sqrt{5} \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = -2.
\end{align*}$$
Неверно считать, что данную систему можно решить только при помощи перехода к полярным координатам (её можно решить, например, ещё и так: перенести $xy$ из левых частей уравнений в правые, затем результаты перемножить и получить квадратное уравнение относительно $xy$; дальнейшее очевидно). Между тем этот приём следует взять на вооружение. Он позволяет в известном смысле регламентировать наши преобразования и даёт возможность пользоваться всем аппаратом тригонометрии. В каких случаях выгодно пользоваться этим приёмом, а в каких нет? Ответить на этот вопрос поможет ваш личный опыт, обогатить который можно собственным трудом!
Пока до вступительных экзаменов есть время — действуйте!
