Бескин Н. М.

Бесконечные цепные дробиБескин Н. М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8. — С. 10‍—‍20.‍‍

I. Введение

1. Постановка вопроса. В предыдущей статье‍ («Квант», №1) была намечена проблема представления любого действительного числа цепной дробью. Однако она не была разрешена. Отправляясь в дальнейший путь, отдадим себе отчёт в том, что сделано и что осталось сделать.

Проблема состоит из двух частей.

Первая часть. Указать способ, которым каждому действительному числу $\alpha$‍‍ ставится в соответствие цепная дробь. Такой способ был указан в виде процесса, в котором чередовались два шага (см. «Квант» №1, стр. 21).

Если число $\alpha$‍‍ рациональное, то процесс обрывается и получается конечная цепная дробь. Если же $\alpha$‍‍ — иррациональное, то процесс оказывается бесконечным и порождает бесконечный символ $$ \alpha\sim[a_0;a_1,a_2,\ldots].\tag{1.1} $$

В первой статье уже были такие примеры. Приведём ещё некоторые геометрические задачи такого типа.

Пример 1. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине $108^\circ$‍‍ выразить (в виде цепной дроби) отношение основания к боковой стороне.

В треугольнике $ABC$‍‍ (рис. 1) углы $108^\circ$‍,‍ $36^\circ$‍,‍ $36^\circ$‍.‍ Откладываем $BB_1=b$‍‍ (ясно, что $b$‍‍ уложится в $a$‍‍ один раз, потому что $a\lt2b$‍).‍

Имеем $$ \begin{gather*} \dfrac ab=\dfrac{BC}{BB_1}=\dfrac{BB_1+B_1C}{BB_1}=1+\dfrac{B_1C}{BB_1}=1+\dfrac1{x_1},\\ x_1=\dfrac{BB_1}{B_1C}=\dfrac{AC}{B_1C}. \end{gather*} $$

Ho треугольник $B_1AC$‍‍ подобен исходному треугольнику $ABC$‍‍ (подсчитайте углы). В первой формуле мы определяли отношение $\dfrac ab$‍‍ основания к боковой стороне. Во второй — мы опять стоим перед той же задачей: $x_1$‍‍ есть отношение основания к боковой стороне в треугольнике с теми же углами. Если после первого шага мы возвращаемся в исходное положение, то процесс не будет иметь конца. Можно написать $$ \dfrac ab\sim[1;1,1,\ldots].\tag{1.2} $$

Легко доказать, что‍$$ \dfrac ba\sim[0;1,1,\ldots].\tag{1.3} $$

Пример 2. Выразить отношение стороны правильного десятиугольника, вписанного в окружность, к радиусу.

На рисунке 2 $O$‍‍ — центр окружности, $AB=a_{10}$‍,‍ $AL$‍‍ — биссектриса угла $A$‍.‍ Ясно, что $AB=AL=OL$‍:‍ $$ \dfrac{a_{10}}R=\dfrac{AL}{OA}. $$

Но треугольник $LOA$‍‍ имеет те же углы, что и треугольник на рисунке 1. Значит, $$ \dfrac{a_{10}}R\sim[0;1,1,\ldots].\tag{1.4} $$

Пример 3. Выразить отношение диагонали квадрата к стороне.

Этот пример сложнее примера 1. Там мы после одного шага процесса возвращаемся к исходному положению, а здесь — после двух шагов (рис. 3).

Исходная позиция: надо откладывать сторону по диагонали. Она отложится один раз (рис. 3). Имеем $$ \begin{gather*} \dfrac da=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CB_1+B_1A}{CB}=1+\dfrac1{x_1}, \\ x_1=\dfrac{CB}{B_1A}=\dfrac{AB}{AB_1}. \end{gather*} $$ Строим $B_1B_2\perp AC$‍.‍ Тогда $BB_2=B_1B_2$‍‍ (докажите сами). Треугольник $AB_1B_2$‍‍ дополним до квадрата (только для наглядности, для доказательства это не нужно). Теперь откладываем $AB_1$‍‍ по $BA$‍.‍ Отложим один раз — получим $BB_2$‍.‍ Остаётся $B_2A$‍.‍ Надо продолжать откладывать $AB_1$‍‍ по $B_2A$‍,‍ но это и есть исходная позиция: откладывать сторону квадрата по диагонали. Значит, процесс бесконечен, т. е. $$ \begin{gather*} x_1=1+\left(1+\dfrac1{x_1}\right)=2+\dfrac1{x_1},\\ \dfrac da\sim[1;2,2,2,\ldots],\tag{1.5}\\[8pt] \dfrac ad\sim[0;1,2,2,\ldots].\tag{1.6} \end{gather*} $$

Но мы, кажется, увлеклись интересными примерами. Вернёмся к постановке проблемы.

Вторая часть. Указать способ, которым каждой цепной дроби ставится в соответствие действительное число $\alpha$‍.‍ Если эта цепная дробь получена разложением числа $\alpha$‍,‍ то искомый способ должен приводить к этому самому числу $\alpha$‍.‍

Вторая часть проблемы пока решена только для конечных цепных дробей. Конечную цепную дробь можно «свернуть», т. е. представить её в виде обыкновенной («двухэтажной») дроби. С бесконечной цепной дробью этого сделать нельзя. Бесконечная цепная дробь (1.1) пока только символ. Её можно рассматривать как узор или украшение, но она не имеет смысла. Поэтому в формулах (1.1)—(1.6) мы пишем знак соответствия, а не знак равенства. Например, формула (1.6) выражает, что если к отношению $\dfrac ad$‍‍ применить процесс разложения в цепную дробь, то получится $[0;1,2,2,{\ldots}]$‍.‍ Но нельзя утверждать, что левая часть равна правой, потому что правая пока не есть число.

Приписать смысл символу $[a_0;a_1,a_2,{\ldots}]$‍‍ это и есть цель настоящей статьи.

Но к этой цели ведёт длинный путь.

2. Принцип вложенных отрезков. Предполагается, что читатель в какой-нибудь форме знаком с теорией действительных чисел, т. е. знает, как вводятся иррациональные числа и что такое бесконечная десятичная дробь.

Напомним важный для дальнейшего принцип вложенных отрезков‍.

Если на прямой дана бесконечная последовательность отрезков $[a_1,b_1],$‍‍ $[a_2,b_2],$‍‍ ${\ldots},$‍‍ $[a_n,b_n],$‍‍ ${\ldots},$‍‍ обладающая двумя свойствами:

1. каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, $$a_n\le a_{n+1}\lt b_{n+1}\le b_n;$$
2. длины отрезков стремятся к нулю при $n\to\infty$‍,‍

то существует точка $x$‍‍ и притом единственная, которая принадлежит всем этим отрезкам.

Пояснение 1. Отрезок $[a,b]$‍‍ содержит все точки прямой, лежащие между $a$‍‍ и $b$‍,‍ а также точки $a$‍‍ и $b$‍.‍ Интервал $(a,b)$‍‍ содержит только точки между $a$‍‍ и $b$‍,‍ но не содержит концов. Значит, отрезок $[a,b]$‍‍ содержит две лишние точки по сравнению с интервалом $(a,b)$‍.‍

Пояснение 2. Второе свойство означает: если фиксировать любое число $\eps$‍‍ строго большее нуля, то в данной последовательности найдётся отрезок меньшей длины, т. е. найдётся такой номер $n$‍,‍ что будет $a_nb_n\lt\eps$‍‍ (символ $a_nb_n$‍‍ выражает длину отрезка $[a_n,b_n]$‍).‍ Разумеется, все отрезки с номерами, большими чем $n$‍,‍ тоже будут меньше $\eps$‍.‍

Принцип вложенных отрезков выражает непрерывность прямой. Где бы ни стягивались эти отрезки, на прямой всюду окажется точка. Если из прямой удалить хоть одну точку, то для оставшегося множества точек этот принцип уже неверен. Удалим, например, на числовой оси точку $O$‍‍ и рассмотрим множество отрезков‍$$ [-1,1],\quad\left[-\dfrac12,\dfrac12\right],\quad\left[-\dfrac13,\dfrac13\right],\quad{\ldots},\quad\left[-\dfrac1n,\dfrac1n\right],\quad{\ldots}. $$ Не существует точки, принадлежащей им всем: они стягиваются к пустому месту.

Точки числовой оси для краткости формулировок принято отождествлять с соответствующими числами: говорят «точка $x$‍‍» и «число $x$‍‍», не делая различия.

Действительные числа заполняют всю числовую ось сплошь, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси. Поэтому принцип вложенных отрезков справедлив и для множества действительных чисел. Для множества рациональных чисел он неверен.

II. Свойства подходящих дробей

Для решения проблемы, поставленной в первой части, нам необходимо изучить более подробно свойства подходящих дробей.

3. Закон образования подходящих дробей. Обрывая цепную дробь после каждого неполного частного, мы получим последовательность рациональных чисел $$ \begin{aligned} \alpha_0&=\dfrac{p_0}{q_0}=\dfrac{a_0}1,\\ \alpha_1&=\dfrac{p_1}{q_1}=[a_0;a_1]=a_0+\dfrac1{a_1}=\dfrac{a_1a_0+1}{a_1}\quad\text{и т. д.} \end{aligned} $$

Примечание. Это в равной степени относится к конечным и к бесконечным цепным дробям. Хотя смысл бесконечной цепной дроби нам пока неизвестен, смысл чисел $\alpha_0$‍,‍ $\alpha_1$‍,‍ $\ldots$‍‍ вполне ясен.

Договоримся отныне под нулевой и первой подходящими дробями подразумевать только те формы, которые записаны в правых частях последних формул. Это значит, что мы определённым образом фиксируем числители и знаменатели этих дробей, отдельно взятые: $$ \left.\begin{aligned} p_0&=a_0,&p_1&=a_1a_0+1,\\ q_0&=1,&q_1&=a_1. \end{aligned}\quad\right\}\tag{3.1} $$

Например, для цепной дроби $[2;3,1,6]$‍‍ $\alpha_1$‍‍ можно записать разными способами: $2\dfrac13$‍,‍ $\dfrac73$‍,‍ $\dfrac{14}6$‍,‍ $\dfrac{21}9$‍‍ и т. д., но подходящей дробью считается только $\dfrac73$‍,‍ а $\dfrac{14}6$‍‍ мы впредь не будем называть подходящей дробью.

Чтобы от $\dfrac{p_1}{q_1}$‍‍ перейти к $\dfrac{p_2}{q_2}$‍‍ следует заменить $a_1$‍‍ на $a_1+\dfrac1{a_2}$‍.‍ После несложных преобразований получим $$ \dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{a_2(a_1a_0+1)+a_0}{a_2a_1+1}. $$ Если внимательно всматриваться в эту формулу, то проступает такое её строение: $$ \dfrac{p_2}{q_2}=\dfrac{p_1a_2+p_0}{q_1a_2+q_0}. $$ Введём опять соглашение: считать второй подходящей дробью только эту форму, т. е. считать отдельно $$ \begin{aligned} p_2&=p_1a_2+p_0,\\ q_2&=q_1a_2+q_0. \end{aligned} $$

Теперь докажем рекуррентные формулы‍$$ \left.\begin{aligned} p_n&=p_{n-1}a_n+p_{n-2},\\ q_n&=q_{n-1}a_n+q_{n-2}, \end{aligned}\quad\right\}\tag{3.2} $$ которые надо понимать так: если определить $p_0$‍,‍ $q_0$‍,‍ $p_1$‍‍ и $q_1$‍,‍ по формулам (3.1), а затем вычислять по формулам (3.2) $(p_2, q_2)$‍,‍ $(p_3, q_3)$‍,‍ $\ldots$‍,‍ то каждый раз мы будем получать пару чисел, которую можно принять за числитель и знаменатель $n$‍‍-й подходящей дроби, т. е. $\dfrac{p_n}{q_n}=\alpha_n$‍,‍ а затем мы заключим соглашение принимать за числитель и знаменатель именно эту пару.

Доказательство проведём по индукции. Предположим, что числители и знаменатели всех подходящих дробей при $n=2$‍,‍ 3, $\ldots$‍,‍ $k$‍‍ получаются по формулам (3.2) $$ \left.\begin{aligned} p_k&=p_{k-1}a_k+p_{k-2},\\ q_k&=q_{k-1}a_k+q_{k-2}. \end{aligned}\quad\right\} $$ Чтобы перейти к следующей подходящей дроби, надо заменить $a_k$‍‍ на $a_k+\dfrac1{a_{k+1}}$‍:‍ $$ \alpha_{k+1}=\dfrac{p_{k+1}}{q_{k+1}}=\dfrac{p_{k-1}\left(a_k+\dfrac1{a_{k+1}}\right)+p_{k-2}}{q_{k-1}\left(a_k+\dfrac1{a_{k+1}}\right)+q_{k-2}}=\dfrac{(p_{k-1}a_k+p_{k-2})a_{k+1}+p_{k-1}}{(q_{k-1}a_k+q_{k-2})a_{k+1}+q_{k-1}}=\dfrac{p_ka_{k+1}+p_{k-1}}{q_ka_{k+1}+q_{k-1}}. $$ Теперь условимся понимать $p_{k+1}$‍‍ и $q_{k+1}$‍‍ так: $$ \left.\begin{aligned} p_{k+1}&=p_ka_{k+1}+p_{k-1},\\ q_{k+1}&=q_ka_{k+1}+q_{k-1}. \end{aligned}\quad\right\}\tag{*} $$

Формулы (*) суть формулы (3.2) при $n=k+1$‍.‍ Формулы (3.2) верны при $n=2$‍.‍ Тем самым они доказаны для любого $n\ge2$‍.‍

Следствие. Все буквы, входящие в формулы (3.2) (кроме, может быть, $a_0=p_0$‍),‍ натуральные числа. Отсюда ясно, что знаменатели последовательных подходящих дробей, начиная с $n=2$‍,‍ возрастают‍: $$ q_0\le q_1\lt q_2\lt q_3\lt\ldots\tag{3.3} $$

Формулы (3.2) освобождают нас от утомительного процесса свёртывания при вычислении подходящих дробей. Покажем более простой способ.

Будем записывать значения $a_i$‍‍ в первой строке, $p_i$‍‍ — во второй, $q_i$‍‍ — в третьей: $$ \def\a#1{\mathclap{a_{#1}}} \def\p#1{\mathclap{p_{#1}}} \def\q#1{\mathclap{q_{#1}}} \colsep{2em}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \vphantom{\dfrac00}\a0&\a1&\a2&\a3\\\hline \vphantom{\dfrac00}\p0&\p1&\p2&\p3\\\hline \vphantom{\dfrac00}\q0&\q1&\q2&\q3\\\hline \end{array}\cdots \begin{array}{|c|c|}\hline \vphantom{\dfrac00}\a{s-1}&\a{s}\\\hline \vphantom{\dfrac00}\p{s-1}&\p{s}\\\hline \vphantom{\dfrac00}\q{s-1}&\q{s}\\\hline \end{array}\cdots} $$ Сначала заполняется вся первая строка и первые два столбца. Дальнейшее заполнение таблицы ведётся по следующей схеме: $$ \def\a#1{\mathclap{a_{#1}}} \def\p#1{\mathclap{p_{#1}}} \def\q#1{\mathclap{q_{#1}}} \colsep{2em}{\cdots \begin{array}{|c|c|c|}\hline \vphantom{\dfrac00}\a{n-2}&\a{n-1}&\a{n}\\\hline \vphantom{\dfrac00}\p{n-2}&\p{n-1}&\\\hline \vphantom{\dfrac00}\q{n-2}&\q{n-1}&\\\hline \end{array}} $$

1. столбец $\left|\begin{array}{c}p_{n-1}\\q_{n-1}\end{array}\right|$‍‍ умножить на $a_n$‍,‍
2. к полученному столбцу прибавить предыдущий.

Эту же схему рекомендуется применять, если требуется вычислить значение всей цепной дроби: последний столбец $\left|\begin{array}{c}p_s\\q_s\end{array}\right|$‍‍ доставляет ответ.

Поупражняйтесь сами в заполнении таблицы для цепной дроби $[0;3,14,1,2,5]$‍‍ $$ \def\q#1{\mathclap{#1}} \colsep{2em}{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \vphantom{\dfrac00}\q0&\q3&\q{14}&\q1&\q2&\q5\\\hline \vphantom{\dfrac00}\q0&\q1&\q{14}&\q{15}&\q{44}&\q{231}\\\hline \vphantom{\dfrac00}\q1&\q3&\q{43}&\q{46}&\q{135}&\q{721}\\\hline \end{array}} $$

4. Разность соседних подходящих дробей. Шаг от $n$‍‍-й подходящей дроби к следующей представляет приращение $n$‍‍-й дроби и обозначается $\Delta_n$‍:‍ $$ \Delta_n=\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}}{q_nq_{n+1}}=\dfrac{D_n}{q_nq_{n+1}},\tag{*} $$ где $D_n$‍‍ обозначает числитель $$ D_n=p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}.\tag{**} $$ Понизим индексы у $p_{n+1}$‍‍ и $q_{n+1}$‍‍ согласно формулам (3.2): $$ D_n=(p_na_{n+1}+p_{n-1})q_n-p_n(q_na_{n+1}+q_{n-1})=-(p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n). $$ Выражение в скобках того же типа, что и (**), но все индексы на единицу меньше. Значит, оно представляет $D_{n-1}$‍:‍ $D_n=-D_{n-1}$‍.‍ Это рекуррентное соотношение позволяет понизить индекс до нуля: $$ D_n=-D_{n-1}=D_{n-2}=-D_{n-3}=\ldots=(-1)^nD_0. $$ Для полного успеха остаётся непосредственно вычислить $D_0$‍:‍ $$ D_0=p_1q_0-p_0q_1=(a_1a_0+1)\cdot1-a_0a_1=1. $$

Следовательно, $$ D_n=p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}=(-1)^n,\tag{4.1} $$ и по формуле (*) $$ \Delta_n=\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{(-1)^n}{q_nq_{n+1}}.\tag{4.2} $$

5. Сравнение подходящих дробей по величине.

Свойство 1. Каждая подходящая дробь с нечётным номером больше соседних дробей (предыдущей и последующей). Каждая подходящая дробь с чётным номером меньше соседних дробей.

Применяя эту формулировку к нулевой и последней подходящим дробям, надо учесть, что у каждой из них только одна соседняя дробь.

Справедливость этого свойства сразу видна из формулы (4.2).

Свойство 1 означает, что последовательные подходящие дроби поочерёдно то больше, то меньше.

Свойство 2. Разности между соседними подходящими дробями по абсолютной величине убывают (имеется в виду: при возрастании номера).

Сравним: $$ \begin{aligned} |\Delta_n|&=\dfrac1{q_nq_{n+1}},\\ |\Delta_{n+1}|&=\dfrac1{q_{n+1}q_{n+2}}. \end{aligned} $$ Имеем $q_{n+2}\gt q_n$‍.‍ Значит, у второй дроби знаменатель больше, а она сама меньше: $|\Delta_{n+1}|\lt|\Delta_n|$‍.‍

6. Несократимость подходящих дробей. Все подходящие дроби несократимы.

Напомним, что числители и знаменатели подходящих дробей образуются по формулам (3.1). Допустим, что дробь $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ сократима, т. е. её числитель и знаменатель имеют общий множитель $\lambda$‍,‍ отличный от единицы: $p_n=\lambda p_n'$‍,‍ $q_n=\lambda q_n'$‍.‍ Тогда формула (4.1) даёт $$ \lambda(p_{n+1}q_n'-p_n'q_{n+1})=(-1)^n. $$ Мы пришли к абсурдному равенству: левая часть делится на $\lambda$‍,‍ а правая нет. Значит, дробь $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ несократима.

III. Введение бесконечных дробей

7. Смысл бесконечной цепной дроби. Принцип вложенных отрезков послужит нам ключом, который откроет смысл бесконечной цепной дроби. Напомним аналогичную ситуацию: как истолковать бесконечную десятичную дробь? Бесконечную десятичную дробь можно рассматривать как сокращённую зaпись последовательности вложенных отрезков: последовательные округления с недостатком дают левые концы этих отрезков, а с избытком — правые. Каков смысл утверждения, что $\sqrt2$‍‍ выражается бесконечной десятичной дробью $\sqrt2=1{,}4142\ldots$‍?‍ Это значит, что $$ \begin{aligned} 1\lt&\sqrt2\lt2,\\ 1{,}4\lt&\sqrt2\lt1{,}5,\\ 1{,}41\lt&\sqrt2\lt1{,}42,\\ {\ldots}\,&{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\\ \end{aligned} $$ Существует единственное число, которое удовлетворяет сразу всем этим неравенствам. Это и есть $\sqrt2$‍.‍

Имея символ бесконечной цепной дроби $$ [a_0;a_1,a_2,\ldots],\tag{*} $$ можно образовать бесконечную последовательность конечных цепных дробей $$ a_0{,}~~[a_0;a_1]{,}~~[a_0;a_1,a_2]{,}~~{\ldots}{,}~~[a_0;a_1,\ldots,a_n]{,}~~{\ldots}{,}\tag{**} $$ которые можно записать в виде подходящих дробей $$ \dfrac{p_0}{q_0}{,}~~\dfrac{p_1}{q_1}{,}~~\dfrac{p_2}{q_2}{,}~~{\ldots}{,}~~\dfrac{p_n}{q_n}{,}~~{\ldots}.\tag{***} $$ Эти подходящие дроби определяют последовательность вложенных отрезков $$ \left[\dfrac{p_0}{q_0},\dfrac{p_1}{q_1}\right]{,}~~ \left[\dfrac{p_2}{q_2},\dfrac{p_1}{q_1}\right]{,}~~ \left[\dfrac{p_2}{q_2},\dfrac{p_3}{q_3}\right]{,}~~ \left[\dfrac{p_4}{q_4},\dfrac{p_3}{q_3}\right]{,}~~{\ldots}. $$ Каждый следующий отрезок вложен в предыдущий (рис. 4)‍ и длины их стремятся к нулю (см. формулу (4.2)). Следовательно, существует единственное число $\alpha$‍,‍ принадлежащее всем этим отрезкам. Оно и принимается за значение бесконечной цепной дроби‍.

Это определение можно высказать и по-другому. Вот два варианта.

1. Значение бесконечной цепной дроби заключено между любыми двумя соседними подходящими дробями.
2. Значение бесконечной цепной дроби больше каждой подходящей дроби с чётным номером и меньше каждой подходящей дроби с нечётным номером.

(Всё это хорошо видно на рисунке 5.)

Важно понять, что любая из этих формулировок определяет единственное число.

Легко показать (сделайте это), что если иррациональное число $\alpha$‍‍ разлагать в цепную дробь, то последовательные подходящие дроби поочерёдно то меньше, то больше $\alpha$‍.‍ Отсюда следует, что это число $\alpha$‍‍ и есть то значение, которое теперь приписано бесконечной цепной дроби (единственность точки, принадлежащей всем отрезкам!). Отныне разрешается писать $$ \alpha=[a_0;a_1,a_2,\ldots]. $$

Теперь ясно, что каждую подходящую дробь можно считать приближенным значением цепной дроби. Чем больше номер, тем приближение точнее.

Почти то же самое говорилось об аппроксимации конечной цепной дроби подходящими дробями. Разница только в том, что в случае бесконечной цепной дроби не существует последней подходящей дроби, и значит, ни одна подходящая дробь не даёт точного значения цепной дроби.

Для бесконечных цепных дробей сохраняется признак равенства («Квант», №1, стр. 22). Сформулируем его так:

1. Две бесконечные цепные дроби $[a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots]$‍‍ и $[b_0;b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots]$‍‍ равны между собой в том и только в том случае, если у них совпадают соответственные элементы, т. е. $a_n=b_n$‍‍ при $n=0$‍,‍ 1, 2, $\ldots$‍.‍
2. Бесконечная цепная дробь не может быть равна конечной.

8. Аппроксимация подходящими дробями. Помнит ли читатель, ради чего мы пустились в это длинное плавание? Мы ищем выгодный способ аппроксимации действительных чисел (в том числе и рациональных) рациональными.

Что такое! Не опечатка ли это? Разве можно аппроксимировать рациональные числа рациональными?

Можно. Например, $$ \dfrac{6187}{7425}\approx\dfrac56. $$ В этом примере мы громоздкое рациональное число заменяем более простым.

Когда мы ознакомились с цепными дробями, естественно возникает такой проект: разложить число $\alpha$‍‍ в цепную дробь и считать последовательные подходящие дроби за приближенные значения этого числа. Другими словами, усекать цепную дробь, отбрасывая все элементы, начиная с некоторого, и принимать оставшуюся усечённую дробь за приближенное значение полной цепной дроби. Именно так мы поступаем, усекая десятичную дробь и оставляя лишь желательное число цифр после запятой.

Для того чтобы принять или забраковать этот проект, надо выяснить, какую погрешность мы допускаем, заменяя число $\alpha$‍‍ подходящей дробью, т. е. полагая $$\alpha\approx\dfrac{p_n}{q_n}.$$

Bo всех дальнейших рассуждениях предполагается, что дробь $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ не нулевая и не последняя. Для $n=0$‍‍ использование цепных дробей не даёт ничего нового по сравнению с использованием десятичных дробей, а случай $n=s$‍‍ неинтересен, так как мы получаем $\alpha=\alpha$‍‍ и погрешность равна нулю.

Вспомним, что $\alpha$‍‍ заключается между $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ и $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍.‍ Следовательно, $$ \left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\left|\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\dfrac{p_n}{q_n}\right| $$ или, согласно формуле (4.2), $$ \left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\dfrac1{q_nq_{n+1}}. $$ Эта оценка не очень удобна, потому что, когда мы используем для аппроксимации какую-нибудь подходящую дробь, то знаменатель следующей дроби может быть неизвестен. Поэтому заметим, что $q_n\lt q_{n+1}$‍,‍ и мы лишь усилим предыдущее неравенство, заменив $q_{n+1}$‍‍ на $q_n$‍:‍ $$ \left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\lt\dfrac1{q_n^2}.\tag{8.1} $$

Это неравенство показывает, что подходящие дроби дают очень выгодную аппроксимацию.

9. Природа чисел, выраженных цепными дробями. Всякая конечная цепная дробь выражает рациональное число, и обратно, всякое рациональное число изображается конечной цепной дообью.

Отсюда следует, что всякая бесконечная дробь выражает иррациональное число.

Верно ли обратное? Ясно, что иррациональное число не может изображаться конечной цепной дробью, но может быть его нельзя изобразить никакой цепной дробью? Или можно изобразить, но не единственным образом?

К счастью, эти страхи напрасны. Всякое иррациональное число выражается бесконечной цепной дробью и притом единственным образом. Для доказательства следует показать,что в процессе разложения иррационального числа в цепную дробь каждый элемент определяется единственным образом.

Пусть, например, требуется разложить число $\pi$‍‍ в цепную дробь. Первый элемент $a_0$‍‍ есть наибольше целое число, содержащееся в $\pi$‍.‍ Значит, $\pi=3+\dfrac1{x_1}$‍.‍ Отсюда $x_1=\dfrac1{\pi-3}\approx7{,}07$‍.‍ Следующий элемент $a_1$‍‍ есть наибольшее целое число, содержащееся в $x_1$‍,‍ т. е. 7 и т. д., и т. д.

Из множества всех бесконечных цепных дробей целесообразно выделить подмножество периодических дробей. Оказывается, эти дроби соответствуют квадратичным иррациональностям. Квадратичной иррациональностью называется число вида $r+s\sqrt N$‍,‍ где $r$‍‍ и $s$‍‍ — рациональные числа, а $N$‍‍ — натуральное число, но не полный квадрат. Иначе говоря, квадратичные иррациональности — это иррациональные числа, которые получаются при решении квадратных уравнений с целыми коэффициентами.

Всякая периодическая цепная дробь выражает квадратичную иррациональность, и обратно, всякая квадратичная иррациональность изображается периодической цепной дробью.

Примеры, иллюстрирующие это положение, встречались в первой статье. В процессе их решения попытайтесь сами доказать, что так должно получиться всегда.

10. Наилучшие приближения. Подходящие дроби очень выгодны для аппроксимации действительных чисел. Поскольку слово «выгодность» не имеет в математике определённого смысла, то, употребляя его, надо каждый раз объяснять, что мы под ним разумеем.

В предыдущей статье‍ была приведена одна теорема, характеризующая выгодность подходящих дробей‍. Теперь мы располагаем нужными средствами для её доказательства.

Число $\alpha$‍‍ принадлежит отрезку $\Delta_n$‍‍ между двумя подходящими дробями $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ и $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍‍ (рис. 6). Длина этого отрезка есть $|\Delta_n|=\dfrac1{q_nq_{n+1}}$‍.‍ Точка $\alpha$‍‍ может быть внутренней точкой этого отрезка или может совпадать с $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍‍ (если $\alpha$‍‍ рационально и $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍‍ есть последняя подходящая дробь). Таким образом, $$ \left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|\le|\Delta_n|.\tag{10.1} $$

Пусть $\dfrac pq$‍‍ — какая-нибудь дробь, знаменатель которой меньше $q_n$‍,‍ и тем самым меньше $q_{n+1}$‍:‍ $$ q\lt q_n\lt q_{n+1}.\tag{10.2} $$ Так как подходящие дроби несократимы, то из неравенств (10.2) следует, что $\dfrac pq\ne\dfrac{p_n}{q_n}$‍,‍ $\dfrac pq\ne\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍.‍ Ясно, что $$ \begin{aligned} \left|\dfrac pq-\dfrac{p_n}{q_n}\right|&=\dfrac{|pq_n-p_nq|}{qq_n}\ge\dfrac1{qq_n},\\ \left|\dfrac pq-\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\right|&=\dfrac{|pq_{n+1}-p_{n+1}q|}{qq_{n+1}}\ge\dfrac1{qq_{n+1}}. \end{aligned} $$ Эти неравенства ещё усилятся, если заменить $q$‍‍ большей величиной $q_{n+1}$‍‍ или $q_n$‍:‍ $$ \begin{aligned} \left|\dfrac pq-\dfrac{p_n}{q_n}\right|&\gt\dfrac1{q_{n+1}q_n}=|\Delta_n|,\\ \left|\dfrac pq-\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\right|&\gt\dfrac1{q_nq_{n+1}}=|\Delta_n|. \end{aligned} $$ Смысл последних двух неравенств таков: дробь $\dfrac pq$‍‍ удалена от каждого из концов отрезка $\left[\dfrac{p_n}{q_n},\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\right]$‍‍ на расстояние большее, чем длина этого отрезка $|\Delta_n|$‍.‍ Откладывая от точек $\dfrac{p_n}{q_n}$‍‍ и $\dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$‍‍ влево и вправо отрезок $|\Delta_n|$‍‍ (рис. 6), получим запретную зону $AB$‍,‍ в которой не может находиться дробь $\dfrac pq$‍‍ (точки $A$‍‍ и $B$‍‍ тоже запретны). Теперь ясно, что $\dfrac pq$‍‍ есть худшее приближение для числа $\alpha$‍,‍ чем $\dfrac{p_n}{q_n}$‍.‍ В самом деле, $$ \begin{aligned} \left|\alpha-\dfrac{p_n}{q_n}\right|&\le|\Delta_n|,\\ \left|\alpha-\dfrac pq\right|&\gt|\Delta_n|. \end{aligned} $$

Заметим, что обратная теорема неверна, т. е. встречаются дроби, которые не служат подходящими и тем не менее дают лучшее приближение для числа $\alpha$‍,‍ чем любая дробь с меньшим знаменателем. Например, из таблицы на стр. 18 («Квант», №1) видно, что этим свойством обладают приближения числа $\pi$‍‍ дробями $\dfrac{19}6$‍,‍ $\dfrac{16}5$‍‍ и $\dfrac{13}4$‍.‍ Поэтому доказанная теорема не означает, что подходящие дроби лучше всех других для аппроксимации действительных чисел. Но вот две гораздо более сильные теоремы, которые мы приведём без доказательства.

Для подходящей дроби коэффициент выгодности‍ $\lambda=\dfrac1{2|q_n\alpha-p_n|}$‍‍ больше, чем для любой другой дроби с меньшим знаменателем.

Наконец, самое удивительное: верна и обратная теорема, т. е. иметь такой большой коэффициент выгодности — монополия подходящих дробей. Это очень тонкое свойство не может не вызвать волнения у всякого читателя, который любит числа.

Если для числа $\alpha$‍‍ и дроби $\dfrac pq$‍‍ коэффициент выгодности $\lambda=\dfrac1{2|q\alpha-p|}$‍‍ больше, чем для любой дроби с менышим знаменателем, то $\dfrac pq$‍‍ есть подходящая дробь для $\alpha$‍.‍

Пример. Из той же таблицы для числа $\pi$‍‍ видно, что дробь $\dfrac{22}7$‍‍ даёт приближение $\pi$‍‍ с бо́льшим коэффициентом выгодности, чем дроби со знаменателями 1, 2, 3, 4, 5, 6. Следовательно, ещё не зная разложения $\pi$‍‍ в цепную дробь, на основании последней теоремы мы можем заключить, что $\dfrac{22}7$‍‍ есть подходящая дробь.

Есть ещё много теорем такого типа. Все они с разных точек зрения подтверждают одно и то же: если нужно аппроксимировать действительное число несложными рациональными числами, то выгоднее всего использовать подходящие дроби.

Это и есть драгоценный ключ к загадкам, о которых говорилось в первой статье.

Задачи

1. Выразить (в виде цепной дроби) отношение основания к боковой стороне в равнобедренном треугольнике с углом $120^\circ$‍.‍
2. Найти значение цепной дроби в формуле (1.2). Найти $\cos36^\circ$‍.‍
3. Найти значение цепной дроби в формуле (1.4). Выразить $a_{10}$‍‍ через $R$‍.‍ Найти $\sin18^\circ$‍.‍
4. Имея разложение в цепную дробь (конечную или бесконечную) числа $\alpha$‍,‍ найти разложение числа $\dfrac1\alpha$‍.‍
5. В статье сказано, что знаменатели подходящих дробей возрастают (неравенства (3.3)). Можно ли сказать то же самое о числителях?