Зайчиков Ю. В.

Графики движенияЗайчиков Ю. В. Графики движения // Квант. — 1970. — № 6. — С. 39‍—‍45.‍‍

Механическое движение очень удобно изображать на графиках. Простота и наглядность их позволяют сразу оценивать характер движения на различных его этапах и решать некоторые задачи, не прибегая к расчётам.

На вступительных экзаменах в вузы графики часто используют при дополнительных вопросах. Поэтому нужно хорошо понимать графики и уметь их анализировать.

График скорости

Рассмотрим сначала прямолинейное движение. Прямую, по которой движется тело, примем за координатную ось $x$‍.‍ На ней выберем начальную точку $O$‍‍ и будем определять положение тела координатой $x$‍,‍ отсчитываемой от этой нулевой точки в одну сторону со знаком плюс, а в другую — со знаком минус. Если направление движения совпадает с положительным направлением оси $x$‍,‍ скорость тела считают положительной, в противном случае — отрицательной (рис. 1).

Рисунок номер 1

Проведём оси координат и будем откладывать по одной из них время $t$‍,‍ а по второй — скорость $V$‍‍ (рис. 2). Любая линия в этих координатах выразит графически зависимость скорости от времени. Что можно узнать из такого графика?

Прямая I, параллельная оси $t$‍,‍ характеризует движение с постоянной скоростью $V_0$‍.‍ То, что скорость положительна, означает, что направление движения совпадает с положительным направлением оси $x$‍.‍ Путь, пройденный телом с момента $t_1$‍‍ до момента $t_2$‍,‍ равен по величине площади верхнего прямоугольника: $S=V_0(t_2-t_1)$‍.‍

Рисунок номер 2

Прямая II на рисунке 2 тоже соответствует равномерному движению, но только в противоположном направлении (скорость отрицательна). Путь, пройденный этим телом за время $(t_2-t_1)$‍,‍ — положительное число, равное по величине площади нижнего прямоугольника: $S_1=V_1(t_2-t_1)$‍.‍

По графику можно узнать и изменение координаты тела $\Delta x=x_2-x_1=V(t_2-t_1)$‍.‍ В обоих случаях оно по абсолютной величине равно площади фигуры под графиком ($S$‍‍ или $S_1$‍),‍ но в первом случае оно положительно, а во втором — отрицательно, так как во втором случае $x_2\lt x_1$‍‍ и $V_1\lt0$‍‍ (рис. 3).

Рисунок номер 3

При равноускоренном движении график скорости тоже прямая, только идущая под некоторым углом к оси времени $t$‍:‍ $V=V_0+at$‍‍ (рис. 4). Здесь $V_0$‍‍ — скорость тела при $t=0$‍.‍ Тангенс угла наклона прямой I к оси $t$‍‍ равен по величине ускорению тела: $$ a=\dfrac{\Delta V}{\Delta t}=\tg\alpha. $$ Чем круче поднимается прямая, тем больше ускорение.

Рисунок номер 4

Движение, которому соответствует прямая II на рисунке 4, — движение с отрицательным ускорением. Можно ли сказать, что это «замедленное» движение? Можно, но только до момента $t_2$‍,‍ пока скорость и ускорение имели разные знаки, то есть были направлены в противоположные стороны. При $t\gt t_2$‍‍ абсолютная величина скорости растёт, так как направления скорости и ускорения совпадают: они оба отрицательны.

Подобным движением является, например, полёт брошенного вверх камня: скорость его вначале уменьшается, затем достигает нуля и, наконец, изменив направление, возрастает. Ускорение при этом постоянно и равно минус $g$‍‍ (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Путь, пройденный телом с момента $t=0$‍‍ до момента $t=t_1$‍,‍ равен по величине площади трапеции $A$‍,‍ а путь, пройденный с момента $t_1$‍‍ до момента $t_3$‍,‍ — сумме площадей треугольников $B$‍‍ и $C$‍.‍ Изменение координаты тела за время $t_3-t_1$‍‍ равно разности площадей этих треугольников, так как тело вначале двигалось в одну сторону ($V\gt0$‍),‍ а затем — в другую ($V\lt0$‍).‍

Если ускорение тела не постоянно, то график скорости изображается кривой (рис. 5). Ускорение в любой момент времени $t_0$‍‍ можно найти, определив тангенс угла наклона касательной к графику в точке с абсциссой $t_0$‍.‍

Рисунок номер 5

В этом легко убедиться, заменив отрезок кривой маленьким прямолинейным отрезком. $\tg\beta$‍‍ равен среднему ускорению $a_{\text{ср}}=\dfrac{\Delta V}{\Delta t}$‍‍ за время $\Delta t$‍.‍ При $\Delta t\to0$‍‍ отрезок стремится к касательной к графику скорости, а среднее ускорение за время $\Delta t$‍‍ — к мгновенному ускорению в момент $t=t_0$‍,‍ то есть к величине $a=\tg\alpha$‍.‍

По кривой на рисунке 5 легко определить, что ускорение вначале увеличивается (тангенс угла наклона касательных растёт), затем уменьшается, проходит через нуль (горизонтальный участок) и становится отрицательным.

Мы видим, таким образом, что график скорости позволяет понять общий характер движения, найти пройденный путь и изменение координаты, узнать скорость и ускорение для любого момента времени, а также оценить изменение этих величин в прошлом и будущем.

График скорости можно строить и для криволинейного движения тела. Если нам известна траектория, то, выбрав одно из направлений по траектории за положительное, можно строить график скорости так же, как мы это делали в случае прямолинейного движения. Знак скорости будет означать направление движения, а величина ординаты — абсолютную величину скорости.

Так, например, при движении тела по окружности с постоянной скоростью $V_0$‍‍ графиком скорости будет прямая I на рисунке 2. Площадь фигуры под графиком скорости и в этом случае численно равна пути, пройденному телом. Прямая II будет характеризовать подобное же движение, но в обратном направлении ($V_1\lt0$‍).‍

График пути и график координаты

Нужно хорошо понимать разницу между этими графиками. Путь, пройденный телом, — это положительная величина, увеличивающаяся вне зависимости от направления движения тела, поэтому график пути не может идти вниз и располагаться ниже оси $t$‍.‍

Координата характеризует положение тела относительно выбранной начальной точки. В процессе движения она может увеличиваться, уменьшаться, проходить через нуль, быть положительной и отрицательной.

Именно так, например, изменяется координата при движении тела вдоль оси $x$‍‍ сначала в одну сторону, а затем в другую (рис. 6). Мы видим, что итоговое изменение координаты за всё время движения равно $-2\,\text{\textrm{м}}$‍,‍ а пройденный за это же время путь равен $8\,\text{\textrm{м}}$‍.‍ На участках, где движение не меняет направления (например, 0 — $x_1$‍‍ или $x_1$‍‍ — $x_2$‍),‍ изменение координаты равно по абсолютной величине пройденному пути.

Рисунок номер 6

Рассмотрим график координаты более подробно.

Прямая I (рис. 7), идущая под углом $\alpha$‍‍ к оси $t$‍,‍ соответствует равномерному движению, так как за равные промежутки времени $\Delta t$‍‍ тело проходит одинаковые отрезки координат $\Delta x$‍.‍ Тангенс угла наклона этой прямой, как легко видеть из рисунка, численно равен скорости движения: $$ V=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\tg\alpha $$ (в нашем примере движение не меняет направления, поэтому изменение координаты $\Delta x$‍‍ за время $\Delta t$‍‍ в точности равно пройденному за это же время пути $\Delta S$‍).‍

Рисунок номер 7

Чем круче поднимается прямая, тем больше тангенс угла наклона и, следовательно, больше скорость. Точка $x_0$‍‍ на прямой I — начальная координата тела. Она характеризует положение тела в начальный момент времени (при $t=0$‍).‍ С течением времени тело удаляется от начала отсчёта в положительном направлении ($x\gt0$‍‍ и возрастает).

Прямая II на рисунке 7 тоже соответствует равномерному движению, но с отрицательной скоростью ($\tg\beta\lt0$‍).‍ Тело находилось при $t=0$‍‍ на расстоянии $x_1$‍‍ от начала отсчёта. Оно движется навстречу первому телу, достигает начала отсчёта при $t=t_1$‍‍ и продолжает движение в отрицательном направлении.

Графики пути для обоих случаев приведены на рисунке 8. Это прямые, идущие под углами $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ к оси абсцисс.

Рисунок номер 8

Ускоренное движение изображается на графике кривой линией (рис. 9). Если ускорение постоянно, кривая — парабола. Тангенс угла наклона касательной к графику координаты равен по величине численному значению скорости тела. Поэтому, если кривая изогнута так, как на участке I (рис. 9), тангенс угла наклона возрастает, а, следовательно, скорость увеличивается; если же кривая изогнута так, как на участке II, скорость уменьшается. Соответствующий график пути приведён на рисунке 10. Пока координата тела возрастает, график пути совпадает с графиком координаты; когда координата убывает, путь возрастает так, что увеличение пути равно уменьшению координаты.

Рисунок номер 9 Рисунок номер 10

Следует помнить, что скорость тела не может меняться скачком и поэтому графики координаты и пути не могут иметь изломов. График координаты, например, не может быть таким, как на рисунке 11. В момент времени $t=t_1$‍‍ скорость при таком движении должна была бы скачком измениться от $V_1=\tg\alpha$‍‍ до $V_2=\tg\beta$‍,‍ что невозможно.

Рисунок номер 11

Решим две задачи.

1. Два тела, находясь на расстоянии $S_0=3\,\text{\textrm{м}}$‍,‍ начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями $V_1=2\,\text{\textrm{м/с}}$‍‍ и $V_2=1\,\text{\textrm{м/с}}$‍.‍ Где и когда они встретятся?

   Задача легко решается графически (рис. 12). Будем считать, что первое тело движется от начала координат в положительном направлении, то есть на графике вверх, а второе — из точки $x_1=S_0$‍‍ в отрицательном направлении, то есть на графике вниз (координата уменьшается). Оба движения изобразятся наклонными прямыми линиями, идущими навстречу друг другу и пересекающимися в точке, соответствующей координате и времени встречи.

   Рисунок номер 12

   Наклон прямых определится из условий: $\tg\alpha=V_1=2$‍,‍ $\tg\beta=V_2=-1$‍.‍ Из графика видно, что встреча произойдёт в точке с координатами $t=1\,\text{\textrm{c}}$‍‍ и $x=2\,\text{\textrm{м}}$‍.‍

На экзаменах часто просят прокомментировать движение, изображённое на каком-либо графике, и показать (нарисовать), как выглядит график того же движения в других координатах.

2. По графику координаты (рис. 13) начертить примерный график скорости.

   Рисунок номер 13

   Графики удобно строить один под другим, чтобы можно было сопоставлять их для одинаковых моментов времени. Анализ графика следует начинать с наиболее простых участков (в нашей задаче это 1 и 5), где скорость одинакова и постоянна по величине (тангенсы углов наклона равны и не изменяются). Изобразив эти участки на графике скорости прямыми горизонтальными линиями, можно переходить к анализу криволинейной части графика координаты.

   Нетрудно увидеть, что на участке 2 скорость возрастает (тангенс угла наклона касательной увеличивается), на участке 3 — уменьшается, в точке $A$‍‍ скорость достигает исходного значения (касательная параллельна начальной прямой), а в точке $B$‍‍ равна нулю (тангенс равен нулю). На участке 4 тело движется в обратном направлении, и скорость поэтому отрицательна. В точке $C$‍‍ скорость снова переходит через нуль и затем возрастает до прежней величины.

Для успешного построения графиков необходима, разумеется, тренировка. Её легко осуществить, рисуя произвольные графики в одной системе координат и строя соответствующие им графики в другой.

Попробуйте самостоятельно решить следующие задачи.

1. По графику скорости (рис. 14) найдите графики координаты и ускорения. Что означают отрицательные значения $t$‍?‍

   Рисунок номер 14

2. По графикам координаты (рис. 15) начертите графики скорости.

   Рисунок номер 15

3. Что за движение изображено на рисунке 16 и как оно будет выглядеть на графике скорости? После момента $t=t_1$‍‍ кривая графика — парабола.

   Рисунок номер 16

4. По графику ускорения (рис. 17) начертите графики скорости, координаты и пути.

   Рисунок номер 17

5. В первые две секунды тело прошло 4 метра, затем, уменьшив скорость, оно двигалось в течение 4 секунд в том же направлении и, наконец, вернулось обратно с первоначальной скоростью. На протяжении каждого из трёх этапов скорость считать постоянной. Второе тело начало движение секундой раньше из той же точки и двигалось с постоянной скоростью $V=\dfrac34\,\text{\textrm{м/с}}$‍.‍ По графику пути определите: 1) скорость первого тела на втором этапе; 2) время и места встреч обоих тел; 3) путь, пройденный первым телом за всё время движения.

6. Два велосипедиста выехали в одном направлении с интервалом в 10 секунд. Первый в течение 5 секунд двигался с ускорением $a_1=2\,\text{\textrm{м/с}}^2$‍,‍ затем с постоянной достигнутой им скоростью, а после выезда второго велосипедиста — замедленно с ускорением $a'_1=-0{,}25\,\text{\textrm{м/с}}^2$‍.‍ Второй велосипедист двигался с ускорением $a_2=1\,\text{\textrm{м/с}}^2$‍.‍ Как только скорости велосипедистов сравнялись, оба продолжили движение с постоянной скоростью. По графику скорости найти: 1) когда и на каком расстоянии от начальной точки сравнялись скорости велосипедистов; 2) чему равна эта скорость; 3) путь первого велосипедиста до момента выезда второго.

7. Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеющим форму, показанную на рисунке 18. Как будут отличаться скорости и времена движения шариков, когда они прибудут в точку $B$‍?‍

   Рисунок номер 18