Текст статьи Шарвин Ю. В. Закон сохранения магнитного потока // Квант. — 1970. — № 6. — С. 11—16.
Если опыт показывает, что при процессах определённого типа какая-то физическая величина не изменяется, можно сформулировать «закон сохранения» этой величины при процессах данного типа. Самый известный пример подобного закона — закон сохранения энергии, который выполняется при любых процессах, протекающих в системах, хорошо изолированных от влияния других тел. С помощью законов сохранения можно часто предсказать конечный результат опыта только по начальным условиям, не зная, что происходит на промежуточных стадиях. Например, если кинетическая энергия какого-нибудь тела перешла в тепло, его количество не зависит от того, каким способом это произошло.
В этой статье речь пойдёт о законе сохранения магнитного потока. Этот закон, правда, выполняется только в особых условиях и не претендует на такую всеобщую роль, как закон сохранения энергии, но в своей области от тоже — закон очень полезный и, хочется добавить, красивый.
Определим сначала, что называется магнитным потоком. Представим себе, что в пространстве имеется постоянное неоднородное магнитное поле любой самой сложной формы. Его можно изобразить наглядно при помощи магнитных силовых Линий, направление которых будет указывать направление поля (для этого на линиях надо поставить стрелки), а густота, т. е. число линий, проходящих через перпендикулярную им площадку
Если имеется какая-то замкнутая кривая в пространстве — «контур» (вообразим его сделанным из тонкой проволоки), то число магнитных си: ловых линий, охваченных этим контуром, будет называться магнитным потоком через этот контур. Чтобы правильно подсчитать это число, надо действовать следующим образом. Сначала — затянуть этот контур воображаемой плёнкой (любой формы, только не дырявой) и отметить на ней разные её стороны — «лицо» и «изнанку». После этого надо сосчитать все силовые линии, протыкающие плёнку с изнанки на лицо, и вычесть из этого числа число силовых линий, протыкающих плёнку в обратном направлении, если такие линии есть. Разность и даст нам величину магнитного потока, которая, таким образом, может быть и отрицательной. Именно потому, что силовые линии нигде не обрываются, безразлично, какой плёнкой затянуть контур — обтянуть экономно или пришить к контуру целый сачок, — поток получится тот же самый (рис. 1). Поток обозначают обычно буквой
Если магнитный поток, охваченный контуром, будет изменяться со временем на величину
Знак минус в этих формулах связан вот с чем: мы считаем положительным тот ток в контуре, который сам создаёт в нём магнитное поле с положительным потоком (такой ток обтекает контур по часовой стрелке, если смотреть «с изнанки»). Отрицательный знак, следовательно, показывает, что если поток уменьшается со временем
Пусть в начальный момент ток равен нулю, а поток создаётся каким-то внешним источником поля, например магнитом. Теперь быстро уберём магнит. Тогда в контуре одновременно с этим возникнет ток, который сам создаст магнитный поток той же величины, т. е. не позволит магнитному потоку выйти из контура. Для того, чтобы в контуре с электрическим сопротивлением
Нужно отметить одно большое достоинство закона электромагнитной индукции: все наши рассуждения и формулы остаются справедливыми независимо от того, каким способом мы изменяем магнитный поток через контур — изменяем ли само магнитное поле или ещё и двигаем, изгибаем, растягиваем контур, который в этом поле находится.
Предположим теперь, что наш контур сделан из сверхпроводника, сопротивление которого, как известно, равно нулю. О том, что сверхпроводимость наступает у многих металлов и сплавов при низких температурах, порядка нескольких градусов абсолютной шкалы, читатель, конечно, знает. Надо ещё напомнить, что сверхпроводимость разрушается под действием магнитного поля с напряжённостью, превышающей некоторый предел — критическое поле
Если в контуре с малым сопротивлением магнитный поток изменяется медленно, то естественно, что в сверхпроводящем контуре он будет вообще оставаться постоянным. Это можно увидеть непосредственно из формулы (1), только, чтобы не получить нуль в знаменателе, её надо записать в виде
Именно экспериментальная проверка этого закона и показала, что сопротивление сверхпроводника практически равно нулю. Самые точные методы не могут обнаружить уменьшения магнитного поля в замкнутой сверхпроводящей катушке, даже если опыт длится несколько лет. Рассмотрим теперь несколько примеров применения закона сохранения магнитного потока. Если изготовить из сверхпроводника трубу с площадью отверстия
Делая этот опыт достаточно быстро, можно получить большое поле и в трубе из любого нормального металла. Если обложить трубу, в которой имеется магнитное поле, со всех сторон порохом и произвести взрыв, то можно сжать магнитный поток и получить в трубке на короткое время, порядка нескольких миллионных долей секунды, поле в десятки миллионов гаусс. Сила взрыва при этом нужна не столько для того, чтобы преодолеть сопротивление металла, сколько для того, чтобы сжимать само магнитное поле. В стенках трубы возбуждается ток, а на ток в магнитном поле действует сила. Поэтому магнитное поле оказывает давление на стенки трубы. Магнитный поток, когда его сжимают, ведёт себя подобно упругому веществу. Можно подсчитать, что поле в 10 миллионов гаусс будет оказывать на стенки трубы давление, равное примерно четырём миллионам атмосфер.
При помощи известных нам сверхпроводников получить такие поля невозможно, но в катушках из сверхпроводящих сплавов уже сейчас получают поля порядка
Существует и другой остроумный способ «накачки» магнитного потока в сверхпроводящие катушки, позволяющий обойтись вовсе без введения проводов в дьюар. Схема устройства, основанного на этом способе, показана на рисунке 4. Катушка, которую мы для простоты заменили на рисунке плоским контуром А, замкнута параллельно двумя сверхпроводящими проволоками Б и В. Магнит М может передвигаться около контура. Путь его нижнего конца показан на рисунке 4 пунктиром. Магнит должен быть настолько сильным, чтобы его поле могло разрушать сверхпроводимость проволок Б и В.
Последовательные положения магнита при накачивании потока в контур показаны на рис. 5, а—д. Магнитный поток, выходящий из конца магнита, обозначен точками — следами силовых линий. В положении а магнит разрушил сверхпроводимость проволоки В, и при движении магнита поток входит в контур. В момент б поток заключён между проволоками Б и В. Затем поток переходит в контур А (положения в и г). Когда магнит М удалён от контура (положение д), внесённый им магнитный поток перераспределяется, но остаётся захваченным контуром А. Далее цикл повторяется, и новая порция силовых линий входит в контур А.
Разобранные выше примеры относились к различным способам создания магнитного поля. Упомянем в заключение о приборе, предназначенном для выполнения прямо противоположной задачи — возможно более полного удаления поля из какого-либо объёма. Используя явление сверхпроводимости, эту задачу можно решить простым и совершенным способом. Возьмём сплющенную сверхпроводящую оболочку и расправим её. Тогда в образовавшейся полости магнитное поле станет равным нулю (практически, конечно, какое-то поле останется, но, во всяком случае, действуя таким способом, можно подойти к
В случае сверхпроводников закон сохранения магнитного потока выполняется с большой точностью, но надо иметь в виду, что его можно приближённо применять и для контуров из любых других материалов — твёрдых, жидких и даже газообразных (плазма), если процесс протекает достаточно быстро. Правда, для того чтобы точно определить, что значит «достаточно быстро», нам пришлось бы уже выйти за рамки этой статьи.
Задачи
- Как зависит от времени ток, проходящий через сверхпроводящую катушку, если язычок К (см. рис. 6) начал колебаться с некоторой частотой, замыкая и размыкая цепь? Ток в начальный момент равен
$\dfrac VR$, где$V$ — э. д. с. источника, а$R$ — сопротивление, включённое в контур. - Ток в катушке нарастает прямо пропорционально времени. Как изменяется ток в другой катушке, индуктивно связанной с первой и замкнутой на некоторое сопротивление?
- Две длинные однослойные сверхпроводящие катушки с числами витков
$n_1$ и$n_2$, длинами$l_1$ и$l_2$ и сечениями$S_1$ и$S_2$ соединены параллельно при помощи сверхпроводящих проводов. Определите, как распределится между ними ток$I$, подведённый от общего источника. Катушки удалены друг от друга так, что поле одной не действует на поле другой. (Тем не менее катушки и coeдиняющие их провода можно рассматривать как один сверхпроводящий контур.) - При включении магнитного поля, перпендикулярного плоскости кольца радиуса
$R$, по кольцу протекает заряд$Q$. Какой заряд протечёт по витку, если кольцо при неизменном поле сложить «восьмёркой», состоящей из двух окружностей, причём радиус меньшей окружности равен$\dfrac R4$? Плоскость «восьмёрки» также перпендикулярна магнитному полю. - На оси постоянного магнита, расположенного вертикально, на некотором расстоянии от него находится лёгкое сверхпроводящее проволочное кольцо, плоскость которого перпендикулярна оси магнита. Кольцо отпускают, и оно начинает падать так, что остаётся всё время горизонтальным. Как будет двигаться кольцо по вертикали?
Ответы, указания, решения
- Ток не изменяется.
- Скорость изменения магнитного потока через катушки пропорциональна скорости изменения тока, т. е. постоянна. Это означает, что постоянна э. д. с. индукции во второй катушке. Постоянен и ток.
- Полный поток через контур должен быть равен нулю. Поток через первую катушку равен по абсолютной величине
$0{,}4\pi\dfrac{I_1n_1^2}{l_1}S_1$, а через вторую$0{,}4\pi\dfrac{I_2n_2^n}{l_2}S_2$ ($I_1$ и$I_2$ — величины токов в катушках). Приравнивая эти выражения, получим$\dfrac{I_1}{I_2}=\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2\dfrac{S_2l_1}{S_1l_2}$. Учитывая, что$I_1+I_2=I$, найдём $$ I_1=I\dfrac{\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2\dfrac{S_2l_1}{S_1l_2}}{1+\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2\dfrac{S_2l_1}{S_1l_2}}\quad\text{и}\quad I_2=I\dfrac1{1+\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2\dfrac{S_2l_1}{S_1l_2}}. $$ Заряд, протекающий по витку, пропорционален изменению пронизывающего его магнитного потока
$I\sim\dfrac{\Delta\varPhi}{\Delta t}$, а$\Delta Q=I\,\Delta t\sim\Delta\varPhi$. Изменение же магнитного потока пропорционально изменению площади контура.Если кольцо не сложили, а сжали так, что получилась «восьмёрка», то новое значение магнитного потока
$\varPhi_1$ будет равно$\dfrac{S_1}S\varPhi=\dfrac58\varPhi$ ($\varPhi$ — начальный поток через контур),$\varPhi_1-\varPhi=-\dfrac38\varPhi$, поэтому$Q_1=-\dfrac38Q$. Если, пережав виток, перевернули ещё меньшую окружность, то $$ \varPhi_1-\varPhi=-\dfrac38\varPhi-\dfrac1{16}\varPhi+\left(-\dfrac1{16}\varPhi\right)=-\dfrac12\varPhi $$ и
$Q_2=-\dfrac12Q$. Если переворачивали большую окружность, то $$ \varPhi_1-\varPhi=-\dfrac38\varPhi-\dfrac9{16}\varPhi+\left(-\dfrac9{16}\varPhi\right)=-\dfrac32\varPhi $$ и
$Q_3=-\dfrac32Q$. Знак минус означает, что направление движения заряда противоположно тому, в котором он протекал при включении поля.
- Если кольцо сверхпроводящее, то при его движении ток в кольце будет нарастать так, чтобы общий поток магнитной индукции через кольцо не изменялся. Направление тока в кольце будет таким, что кольцо начнёт отталкиваться от магнита. В некоторый момент сила, действующая на кольцо со стороны магнита, уравновесит вес кольца, но поскольку кольцо будет иметь в этот момент какую-то скорость, то оно проскочит положение рав новесия и будет двигаться дальше до тех пор, пока возросшая сила взаимодействия с магнитом не обратит его скорость в нуль и не заставит двигаться назад. При этом при прохождении через положение равновесия кольцо будет иметь скорость, направленную вверх. Кольцо опять пройдёт через положение равновесия и т. д. Так как при прохождении тока по сверхпроводнику тепло не выделяется, то возникнут колебания относительно положений равновесия.