Как мы решаем уравнение? Исходя из данного уравнения, пишем подряд одно, другое, третье, … — цепочку уравнений, в которой каждое получается из предыдущего преобразованием одной или сразу обеих частей, и так до тех пор, пока не получим совсем простое уравнение, решения которого мы уже умеем находить. Если при этом все переходы от данного уравнения к следующему «обратимы», т. е. мы видим, что преобразованием четвёртого уравнения можно получить третье, из третьего — второе, и т. д., то ясно, что последнее простое уравнение имеет те же корни, что и исходное. Но часто встречаются такие уравнения с радикалами, логарифмами, тригонометрическими функциями, при решении которых приходится прибегать к довольно сложным преобразованиям, так что при этом «обратный переход» не очевиден. Если, решая такие уравнения, делать преобразования формально, не вникая в их смысл, то легко впасть в ошибку: потерять корень или приобрести лишний. О том, как это бывает и как избежать подобных неприятностей, рассказывается в этой статье.
1. Некоторые обозначения
Пусть даны два числовых множества $X$ и $Y$. Запись $X\subset Y$ означает, что каждый элемент множества $X$ является в то же время элементом множества $Y$, а в $Y$ могут быть элементы, не принадлежащие множеству $X$. Запись $x\in X$ (соответственно $x\notin X$)
означает, что элемент $x$ принадлежит (не принадлежит) множеству $X$.
Условимся далее вместо фразы «множество $X$ состоит из всех действительных чисел $x$» использовать такое обозначение: $X=\{x\mid-\infty\lt x\lt\infty\}$. Аналогично, запись $X=\{x\mid x\ge3\}$ означает, что множество $X$ состоит из всех таких чисел $x$, которые удовлетворяют неравенству $x\ge3$, а запись $X=\{x\mid x\ne\pi n\}$ означает, что множеству $X$ принадлежат все действительные числа, за исключением $x=\pi n$.
И, наконец, условимся область допустимых значений ОДЗ (напомним, что областью допустимых значений уравнения $f(x)=g(x)$ называется множество тех $x$, при которых функции $f(x)$ и $g(x)$ определены) заданного уравнения обозначать буквой $X$, а ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате некоторого преобразования, — буквой $Y$.
2. Откуда берутся посторонние корни?
Причина первая — расширение ОДЗ. При решении уравнений постоянно применяются самые различные преобразования. Довольно часто при этом случается так, что ОДЗ уравнения, полученного из исходного в результате некоторого преобразования, оказывается шире, чем ОДЗ исходного уравнения (фраза «более широкая ОДЗ» означает $X\subset Y$). Расширение ОДЗ может привести к появлению посторонних корней. Дело в том, что полученное уравнение может иметь такие корни, которые, будучи элементами множества $Y$, не принадлежат множеству $X$. Они-то и будут посторонними для исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
$$
\dfrac{2}{2-x}+\dfrac12=\dfrac{4}{2x-x^2}.
\tag1
$$
Решение. Запишем прежде всего ОДЗ уравнения (1): $X=\{x\mid x\ne0;\,2\}$. Приведя к общему знаменателю, получим
$$
4x+2x-x^2=8.
\tag2
$$
Уравнение (2) имеет уже другую ОДЗ: $Y=\{x\mid-\infty\lt x\lt\infty\}$. Решая уравнение (2), получим два корня: $x_1=4$, $x_2=2$, причём $x_1\in X$, тогда как $x_2\notin X$, и поэтому $x_2$ является посторонним корнем для уравнения (1). Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень $x=4$.
Пример 2. Решить уравнение
$$
\lg(x^2+3x-4)=\lg(2x+2).
\tag3
$$
Решение. Решив систему неравенств
$$
\left\{
\begin{align*}
x^2+3x-4&\gt0,\\
2x+2&\gt0,
\end{align*}
\right.
$$
находим ОДЗ уравнения (3): $X=\{x\mid x\gt1\}$. Потенцируя, преобразуем уравнение (3) в уравнение
$$
x^2+3x-4=2x+2
\tag4
$$
с более широкой ОДЗ: $Y=\{x\mid-\infty\lt x\lt\infty\}$. Уравнение (4) имеет два корня: $x_1=2$, $x_2=-3$, причём $x_1\in X$, а $x_2\notin X$. Значит, $x_2$ является посторонним корнем для уравнения (3) и, следовательно, уравнение (3) имеет единственный корень $x=2$.
К расширению ОДЗ иногда приводит применение некоторых формул, известных из курса средней школы. Это формулы, связанные с различными свойствами логарифмов, радикалов чётной степени, а также некоторые тригонометрические формулы. Например:
$$
\begin{align*}
\log_af(x)+\log_ag(x)&=\log_x[f(x)\cdot g(x)],
\tag5\\
\dfrac{1-\cos x}{\sin x}&=\tg\dfrac{x}{2}.
\tag6
\end{align*}
$$
Нетрудно видеть, что функции, содержащиеся в правых частях этих равенств, имеют более широкую область определения, чем функции, содержащиеся в левых частях.
Так, область определения функции $\log_af(x)+\log_ag(x)$ определяется системой неравенств
$$
\left\{
\begin{align*}
f(x)&\gt0,\\
g(x)&\gt0,
\end{align*}
\right.
\tag7
$$
тогда как область определения функции $\log_a[f(x)\cdot g(x)]$ состоит из решений системы (7) и решений ещё одной системы неравенств
$$
\left\{
\begin{align*}
f(x)&\lt0,\\
g(x)&\lt0.
\end{align*}
\right.
$$
Область определения функции $\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$ такова: $X=\{x\mid x\ne\pi n\}$. Функция же $\tg\dfrac{x}{2}$ имеет более широкую область определения: $X=\{x\mid x\ne\pi(2k+1)\}$. Поэтому применение при решении уравнения формул (5), (6) и им подобных «слева направо» может привести к появлению посторонних корней.
Пример 3. Решить уравнение
$$
\dfrac{1-\cos x}{\sin x}+\tg^3\dfrac{x}{2}=0.
\tag8
$$
Решение. Запишем ОДЗ уравнения (8): $X=\{x\mid x\ne\pi n\}$. Применяя формулу (6), получим уравнение
$$
\tg\dfrac{x}{2}+\tg^3\dfrac{x}{2}=0
\tag9
$$
с более широкой ОДЗ: $Y=\{x\mid x\ne\pi(2k+1)\}$. Решениями уравнения (9) служат значения $x=2\pi n$. Все эти значения не входят в ОДЗ уравнения (8), а потому являются посторонними корнями. Таким образом, уравнение (8) не имеет решений.
Причина вторая — умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть дано уравнение
$$
f(x)=g(x).
\tag{10}
$$
Умножим обе части на функцию $h(x)$. Получим уравнение
$$
f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),
\tag{11}
$$
корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни уравнения $h(x)=0$ (или, как ещё говорят, корни функции $h(x)$). Среди этих последних могут оказаться такие корни, которые не удовлетворяют уравнению (10), то есть являются для него посторонними (кстати, в примере 1 обе части уравнения (1) были умножены на одну и ту же функцию $2x(2-x)$. В результате появился посторонний корень $x=2$, но мы объяснили его появление расширением ОДЗ).
Пример 4. Решить уравнение
$$
x=(\sqrt{1+x}+1)(\sqrt{10+x}-4).
\tag{12}
$$
Решение. Запишем ОДЗ уравнения (12): $X=\{x\mid x\ge-1\}$. Умножим обе части уравнения на функцию $h(x)=\sqrt{1+x}-1$. После преобразований получим уравнение
$$
x(\sqrt{1+x}-\sqrt{10+x}+3)=0,
$$
имеющее 2 корня: $x_1=0$, $x_2=-1$ (заметим, что расширения ОДЗ не произошло). Оба корня принадлежат множеству $X$, тем не менее проверка убеждает нас в том, что $x_1=0$ — посторонний корень (нетрудно видеть, что $x=0$ — корень функции $h(x)$). Таким образом, уравнение (12) имеет единственный корень $x=-1$.
Причина третья — возведение обеих частей уравнения в чётную степень. Рассмотрим уравнение (10). Возведём обе части этого уравнения в квадрат. Получим уравнение $[f(x)]^2=[g(x)]^2$, корнями которого служат как корни уравнения (10), так и корни «постороннего» уравнения $f(x)=-g(x)$. Среди этих последних могут оказаться такие корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению (10). Они-то и будут посторонними для уравнения (10).
Пример 5. Решить уравнение
$$
\sqrt{2x+5}+\sqrt{x-1}=8.
\tag{13}
$$
Решение. Запишем ОДЗ уравнения (13): $X=\{x\mid x\ge1\}$. Возведём обе части уравнения в квадрат. После преобразований получим
$$
2\sqrt{2x^2+3x-5}=60-3x
\tag{14}
$$
и далее
$$
4(2x^2+3x-5)=(60-3x)^2,
$$
откуда $x_1=10$, $x_2=362$. Сделав проверку найденных решений, замечаем, что лишь $x_1=10$ удовлетворяет уравнению (13), тогда как $x_2=362$ — посторонний корень (хотя он и принадлежит ОДЗ уравнения (10)). Посторонний корень появился в результате возведения в квадрат обеих частей уравнения (14).
3. Что приводит к потере корней?
Причина первая — сужение ОДЗ. Встречаются и такие преобразования, которые приводят к уравнению с более узкой ОДЗ. Сужение ОДЗ может привести к потере корней, а именно, могут «потеряться» такие корни исходного уравнения, которые принадлежали множеству $X$, но не принадлежат «более узкому» множеству $Y$ ($Y\subset X$).
Пример 6. Решить уравнение
$$
\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\ctg x-1.
\tag{15}
$$
Решение. Преобразуем уравнение (12) к виду
$$
\dfrac{\tg x+\tg\dfrac{\pi}{4}}{1-\tg x\cdot\tg\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{2}{\tg x}-1.
\tag{16}
$$
Положив $y=\tg x$, придём к алгебраическому уравнению относительно $y$, решив которое, получим $y=\dfrac12$, то есть $x=\arctg\dfrac12+\pi k$.
Но проверка убеждает нас в том, что значения $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ также удовлетворяют уравнению (15). Когда же мы успели потерять эти корни? Сравним ОДЗ уравнений (14) и (15). $X$ состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $\ctg x$ и $\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ не существуют. Значит,
$$
X=\left\{x\mid x\ne\pi n,\ x\ne\dfrac{\pi}{4}+\pi n\right\}.
$$
ОДЗ уравнения (16) — $Y$ — состоит из всех значений $x$, за исключением тех, при которых $\tg x=0$, $\tg x=1$ и $\tg x$ не существует. Значит,
$$
Y=\left\{x\mid x\ne\pi n,\ x\ne\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi n\right\}.
$$
Отсюда следует, что $Y\subset X$, то есть ОДЗ уравнения (16) ýже, чем ОДЗ уравнения (15). Значения $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ принадлежат множеству $X$, но не принадлежат множеству $Y$. Они-то и оказались потерянными корнями исходного уравнения.
Теперь возникает один важный вопрос: что привело к сужению ОДЗ? Анализ решения примера 6 показывает, что к сужению ОДЗ привело использование формулы тангенса суммы, в нашем примере формула применялась для $\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$, и соотношения $\ctg x=\dfrac{1}{\tg x}$. Дело в том, что, например, функция $\dfrac{1}{\tg x}$ имеет более узкую область определения, чем функция $\ctg x$. Использование при решении уравнений этих формул (и некоторых других, например формул, выражающих $\sin x$, $\cos x$, $\tg x$ через $\tg\dfrac{x}{2}$) «слева направо» может привести к сужению ОДЗ и к потере по этой причине некоторых корней.
Причина вторая — деление обеих частей уравнения на одну и ту же функцию. Пусть $x_1$, — корень функции $h(x)$. Тогда $x_1$ — корень уравнения (11), но совсем не обязательно удовлетворяет уравнению (10). Таким образом, деление обеих частей уравнений на одну и ту же функцию может привести к потере корней (а именно, корней функции-делителя).
Вместо заключения
Каким же общим правилом руководствоваться при решении уравнений? Только одним: решение всякого уравнения проводить сознательно, не механически, не обходить вниманием ни один сомнительный переход, где возможно появление посторонних корней или потеря корней. Перед началом решения уравнения полезно выписать все ограничения, определяющие ОДЗ (их даже не обязательно разрешать относительно неизвестного); например, при решении уравнения (3) достаточно было выписать условия: $x^2+3x-4\gt0$ и $2x+2\gt0$; при проверке сразу видно, что один из найденных корней $x_2=-3$ не удовлетворяет условию $2x+2\gt0$. Если приходится делать переходы, при которых могут появиться посторонние корни, то в конце необходимо сделать проверку, которая в этом случае является частью решения задачи, а не просто дополнительным контролем. Иногда в процессе решения удобно разбить множество значений переменной на две или несколько частей и на каждой из них исследовать уравнение отдельно; например, уравнение (14) при $60-3x\lt0$ заведомо не имеет решений, а при $60-3x\ge0$ возведение обеих частей в квадрат не приведёт к появлению новых корней, так как обе части уравнения неотрицательны (посторонний корень $x_2=362$ отсеивается автоматически, как не удовлетворяющий условию $60-3x\ge0$).
Решение каждого уравнения должно выглядеть как доказательство теоремы о том, что данному уравнению удовлетворяют те и только те числа, которые написаны в ответе; а тактика «борьбы» с посторонними корнями и с потерей корней при преобразованиях должна быть гибкой.
Упражнения
Решить следующие уравнения:
$\dfrac{x}{2x-1}+\dfrac{25}{4x^2-1}=\dfrac{1}{27}-\dfrac{13}{1-2x}$.
$\dfrac{x^2-3x+2}{x}\left(3^{\frac{x}{x^2-1}}-1\right)=0$.
$\sqrt{x+1}=1-\sqrt{2x+3}$.
$\sqrt{(x+16)(x-5)}+\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x}\sqrt{x+16}+x=40$.
$\log_{5x-2}2+2\log_{5x-2}x=\log_{5x-2}(x+1)$.
$\dfrac{\lg2+\lg(4-5x-6x^2)}{\lg\sqrt[3]{2x-1}}=3$.
$\tg x+\tg2x=\tg3x$.
$3\tg2x+2\ctg x+3=0$.
