Смородинский Я. А.

О периоде обращения спутниковСмородинский Я. А. О периоде обращения спутников // Квант. — 1970. — № 12. — С. 31.‍‍

В сентябре месяце 1970 года была запущена автоматическая станция «Луна 16». 17 сентября она вышла на окололунную орбиту с периодом 1 час 59 мин (119 минут). Что можно, исходя из этих данных, сказать о Луне?

Вспомним, что когда запускают спутник вокруг Земли, то его период обычно бывает около полутора часов (90 минут). Что можно сказать о Земле?

Оказывается, что из этих данных можно оценить величину плотности Луны и Земли.

Если высота спутника невелика (по сравнению с радиусом небесного тела, вокруг которого он вращается), то можно приближённо считать, что спутник движется около поверхности. Приравняем ускорение силы тяжести к центростремительному ускорению: $$ G\dfrac{M}{R^2}=\dfrac{v^2}{R}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2R, $$ где $G$‍‍ — гравитационная постоянная, $M$‍‍ — масса небесного тела, $R$‍‍ — его радиус, $v$‍‍ — скорость спутника, $T$‍‍ — период его обращения. Дальше запишем массу через радиус: $$ M=\dfrac43\pi R^3\rho, $$ где $\rho$‍‍ — средняя плотность.

Подставив в предыдущую формулу это выражение, получим замечательный результат: $$ T=\sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}} $$

Отсюда следует, что период обращения низкого спутника зависит только от плотности небесного тела и не зависит от его размеров. Поэтому, зная период, можно определить плотность Луны и Земли. В таблице приведены значения периода и плотности для разных планет солнечной системы.

$$ \def\a#1{\mathrlap{\text{#1}}\hphantom{\text{Меркурий}}} \def\b#1,#2#3{\hphantom0\mathllap{#1}{,}\mathrlap{#2#3}\hphantom{00}} \def\c#1{\hphantom{000}\mathllap{#1}} \colsep{.5em}{\begin{array}{c|c|c}\hline\\[-6pt] \text{Центральное тело}&\text{Плотность}~\left(\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}\right)&\text{Период}\\[12pt] \hline\\[-6pt] \a{Солнце}&\b1,42&\c{166}\\ \a{Меркурий}&\b5,61&\c{83}\\ \a{Венера}&\b5,16&\c{87}\\ \a{Земля}&\b5,52&\c{84}\\ \a{Луна}&\b3,36&\c{108}\\ \a{Марс}&\b3,95&\c{100}\\ \a{Юпитер}&\b1,34&\c{171}\\ \a{Сатурн}&\b0,64&\c{238}\\ \a{Уран}&\b1,36&\c{170}\\ \a{Нептун}&\b1,30&\c{174}\\[6pt] \end{array}} $$

Для Земли период равен 84 минутам. В газетах сообщают обычно несколько большую величину. Это значит, что спутник летит не очень низко. Если обозначить высоту спутника через $h$‍,‍ то нетрудно получить и точную формулу для круговой орбиты (попробуйте вывести её сами): $$ T=\sqrt{\dfrac{3\pi}{\rho G}}\left(1+\dfrac{h}{R}\right)^{\frac{\scriptstyle3}{\scriptstyle2}}\simeq T_0\left(1+\frac{3h}{2R}\right), $$ где $T_0$‍‍ — период низкого спутника (приведённый в таблице), а последнее равенство — приближённое — верное, если $h\ll R$‍.‍ Можно получить и формулу для эллиптической орбиты, если знать законы Кеплера. О них вы прочтёте в «Кванте» №1 за 1971 год‍.