Смородинский Я. А.

О периоде обращения спутниковСмородинский Я. А. О периоде обращения спутников // Квант. — 1970. — № 12. — С. 31.‍‍

В сентябре месяце 1970 года была запущена автоматическая станция «Луна 16». 17 сентября она вышла на окололунную орбиту с периодом 1 час 59 мин (119 минут). Что можно, исходя из этих данных, сказать о Луне?

Вспомним, что когда запускают спутник вокруг Земли, то его период обычно бывает около полутора часов (90 минут). Что можно сказать о Земле?

Оказывается, что из этих данных можно оценить величину плотности Луны и Земли.

Если высота спутника невелика (по сравнению с радиусом небесного тела, вокруг которого он вращается), то можно приближенно считать, что спутник движется около поверхности. Приравняем ускорение силы тяжести к центростремительному ускорению: $$ G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R, $$ где $G$‍‍ — гравитационная постоянная, $M$‍‍ — масса небесного тела, $R$‍‍ — его радиус, $v$‍‍ — скорость спутника, $T$‍‍ — период его обращения. Дальше запишем массу через радиус: $$ M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho, $$ где $\rho$‍‍ — средняя плотность.

Подставив в предыдущую формулу это выражение, получим замечательный результат: $$ T=\sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}} $$

Отсюда следует, что период обращения низкого спутника зависит только от плотности небесного тела и не зависит от его размеров. Поэтому, зная период, можно определить плотность Луны и Земли. В таблице приведены значения периода и плотности для разных планет солнечной системы.

Вставить иллюстрацию

Для Земли период равен 84 минутам. В газетах сообщают обычно несколько большую величину. Это значит, что спутник летит не очень низко. Если обозначить высоту спутника через $h$‍,‍ то нетрудно получить и точную формулу для круговой орбиты (попробуйте вывести ее сами): $$ T = \sqrt{\frac{3\pi}{\rho G}}\left(1+\frac{h}{R}\right)^\frac{3}{2} \simeq T_0 \left( 1 + \frac{3h}{2R} \right), $$ где $T_0$‍‍ — период низкого спутника (приведенный в таблице), а последнее равенство — приближенное — верное, если $h\ll R$‍.‍ Можно получить и формулу для эллиптической орбиты, если знать законы Кеплера. О них вы прочтете в «Кванте» № 1 за 1971 год.