Асламазов Л. Г.

Электростатика на языке силовых линийАсламазов Л. Г. Электростатика на языке силовых линий // Квант. — 1970. — № 11. — С. 2⁠—⁠10.‍‍

Обычно электростатику изучают так: записывают закон Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$‍‍ и $q_2$‍:‍ $F=\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$‍‍ ($r$‍‍ — расстояние между зарядами) — и затем с помощью иногда простых, а иногда сложных математических расчётов получают всевозможные следствия этого закона, считая, что заряд любого тела можно представить как совокупность распределённых нужным образом точечных зарядов.

Но часто точный математический анализ электрического поля и распределения зарядов оказывается слишком сложным. Тогда на помощь приходят простые соображения — симметрия и картины силовых линий поля. Конечно, они не могут дать столь же полного представления, как математические расчёты, зато наглядны и помогают «увидеть» и предсказать, какие особенности будет иметь электрическое поле и как будут взаимодействовать заряды.

Что такое силовые линии поля

Возьмём точечный заряд $q$‍.‍ Этот заряд создаёт в окружающем пространстве электрическое поле, которое полностью определено, если в каждой точке пространства задана напряжённость поля — сила, которая действовала бы на точечный единичный положительный заряд, если бы его поместили в эту точку. Для того чтобы наглядно представить электрическое поле во всём пространстве, можно попробовать изображать его множеством векторов, нарисованных в различных точках пространства так, чтобы каждый из них показывал напряжённость поля (её величину и направление) в той точке, из которой он выходит. Однако сразу становится очевидным, что такой способ изображения поля неудачен: отдельные стрелки, накладываясь друг на друга, создадут запутанную картину, разобраться в которой будет невозможно.

Фарадей предложил изображать поле силовыми линиями. Это линии, направление которых в каждой точке совпадает с направлением напряжённости поля в этой точке. Для точечного заряда нарисовать силовые линии совсем просто. Это прямые (лучи), проходящие через точку, в которой находится заряд. Если заряд положительный, то силовые линии направлены от заряда (рис. 1); силовые линии поля, созданного отрицательным зарядом (в дальнейшем для краткости мы будем говорить «поле заряда»), идут к заряду.

Попробуем нарисовать картину силовых линий поля в более сложном случае — для двух одинаковых по величине точечных зарядов — положительного и отрицательного (эту пару зарядов называют «диполем»). Вспомним принцип суперпозиции: напряжённость поля системы зарядов равна сумме напряжённостей полей, создаваемых отдельными зарядами (рис. 2). Нельзя ли получить картину силовых линий поля диполя, сложив картины силовых линий полей отдельных зарядов или, точнее, наложив их одну на другую? К сожалению, нет. В этом случае силовые линии поля должны были бы пересекаться. Это, очевидно, невозможно, так как в точке пересечения силовых линий напряжённость поля имела бы два значения! Значит, простым наложением картин силовых линий полей точечных зарядов нельзя нарисовать картин силовых линий поля системы зарядов.

Качественную картину силовых линий можно получить, поместив в электрическое поле взвесь твёрдых частичек в жидком изоляторе. В электрическом поле на концах частичек наводятся одинаковые разноимённые заряды. Благодаря этому они ориентируются вдоль силовых линий поля. Для поля диполя получается картинка, показанная на рисунке 3, а. Силовые линии идут от положительного заряда к отрицательному (рис. 3, б). Если взять два одинаковых одноимённых заряда, то картина силовых линий будет такой, как показанная на рисунках 4, а и 4, б.

Такие же картины получаются, если аккуратно найти векторы напряжённости электрического поля в различных точках и по ним уже строить силовые линии поля (рис. 2).

Рассматривая рисунки З и 4, можно заметить, что при разноимённых зарядах силовые линии как бы связывают заряды между собой, а в случае одноимённых зарядов силовые линии как бы расталкиваются. Если приписать силовым линиям свойства сокращаться вдоль своей длины и расталкиваться в поперечном направлении, то мы могли бы сказать, что силовые линии, связывающие разноимённые заряды, притягивают их друг к другу, а силовые линии разноимённых зарядов, расталкиваясь, отталкивают и сами заряды друг от друга. Конечно, нельзя считать, что силовые линии поля существуют реально, но при таком толковании часто один лишь взгляд на картину поля позволяет предсказать результат взаимодействия зарядов. Эти же «свойства» силовых линий, как нетрудно сообразить, могли бы нам помочь нарисовать правильную картину силовых линий.

Теорема Гаусса

Итак, картина силовых линий показывает направление вектора напряжённости поля в каждой точке. Но это ещё не всё. Оказывается, эти картины могут говорить и о большем — о величине напряжённости поля.

Возьмём точечный положительный заряд $q$‍.‍ Выделим конус с вершиной в точке, в которой находится заряд, и проследим за силовыми линиями, проходящими через площадку с площадью $S_1$‍,‍ находящуюся на расстоянии $r_1$‍,‍ от заряда (рис. 5). На расстоянии $r_2$‍,‍ эти же силовые линии будут проходить через площадку с большей площадью $S_2$‍.‍ Отношение диаметров площадок равно отношению $\dfrac{r_2}{r_1}$‍,‍ поэтому $\dfrac{S_2}{S_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2$‍.‍ Но это означает, что плотность силовых линий $n=\dfrac{N}{S}$‍‍ (число силовых линий, проходящих через площадку единичной площади) обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда. Так как $\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{r_2^2}{r_1^2}$‍‍ то $n\sim \dfrac{1}{r^2}$‍.‍

Точно так же меняется напряжённость поля точечного заряда: $E=\dfrac{q}{r^2}$‍‍ Таким образом, плотность силовых линий пропорциональна напряжённости поля: $n\sim E$‍.‍ Нужно только, чтобы силовые линии нигде не прерывались. Для точечного положительного заряда силовые линии должны начинаться на заряде и уходить на бесконечность. В случае отрицательного заряда силовые линии должны идти из бесконечности и заканчиваться на заряде.

Оказывается, что всегда можно нарисовать картину силовых линий так, чтобы их плотность была пропорциональна напряжённости поля. Для этого силовые линии должны всегда начинаться на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных (или уходить на бесконечность), причём, число силовых линий, выходящих из заряда или идущих к нему, должно быть пропорционально величине этого заряда.

Проведём мысленно сферу с центром в точке, в которой находится заряд. Если условиться считать, что из каждого положительного заряда выходит (а на каждом отрицательном заряде оканчивается) $4\pi q$‍‍ силовых линий, то их плотность на сферической поверхности будет равна $\dfrac{4\pi q}{4\pi r^2}=\dfrac{q}{r^2}$‍,‍ т. е. будет равна напряжённости поля. Полное же число силовых линий, пересекающих поверхность сферы, не зависит от её радиуса и равно $4\pi q$‍.‍ Ясно, что таким же будет число силовых линий, выходящих из любой замкнутой поверхности, внутри которой находится заряд (или входящих в неё), какую бы форму ни имела эта поверхность.

Это утверждение называется теоремой Гаусса. Она справедлива, конечно, и для любого распределения зарядов. Можно показать, что для любой системы зарядов число силовых линий, выходящих из замкнутой поверхности произвольной формы, минус число силовых линий, входящих в неё, равно $4\pi Q$‍,‍ где $Q$‍‍ — суммарный заряд, который находится в объёме, ограниченном этой поверхностью. Если заряд $Q$‍‍ отрицателен, то число линий, которые выходят из объёма, ограниченного поверхностью, меньше числа силовых линий, входящих в него. Если в объёме, ограниченном поверхностью, нет зарядов, то из него выходит столько же силовых линий, сколько и входит.

Потенциал и эквипотенциальные поверхности

Прежде чем приступить к реализации наших знаний — решению конкретных задач, вспомним ещё об одной характеристике поля — потенциале. Дело в том, что для него тоже можно отыскать геометрическую картину, тесно связанную с картиной силовых линий. Эта связь часто помогает рисовать и анализировать картину силовых линий поля.

Напомним сначала, что такое потенциал электрического поля.

Если, передвигая в поле заряд, мы вернёмся в начальную точку, то полная работа, которую мы совершим, будет равна нулю. Поэтому работа, которая совершается при перенесении точечного заряда из одной точки поля в другую, не зависит от формы пути. Иначе можно было бы вначале пойти по тому пути, где она меньше, а возвратиться по тому, где она больше. Полная работа не была бы равна нулю. Благодаря тому, что работа не зависит от формы пути, и можно ввести понятие потенциала. Потенциал поля в данной точке равен работе, которая совершается полем при перенесении единичного точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля положительного заряда положителен, а потенциал поля отрицательного заряда отрицателен. В первом случае сила, действующая на переносимый заряд со стороны поля, направлена в ту же сторону, в которую движется заряд, а во втором — против движения (поле совершаєт отрицательную работу). Потенциал — это скаляр, не имеющий направления в пространстве. У точечного заряда $q$‍‍ на расстоянии $r$‍‍ от него потенциал равен $\dfrac{q}{r}$‍.‍ Если надо найти потенциал поля нескольких зарядов, то мы должны сложить потенциалы полей, создаваемых отдельными зарядами, разумеется, с учётом их знаков. Как же связан потенциал с картиной силовых линий? Проведём поверхность, потенциал на которой всюду постоянен. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это сферы с центром в точке, в которой находится заряд. Нетрудно увидеть, что силовые линии поля всегда должны быть перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если бы это было не так, то существовала бы составляющая напряжённости поля вдоль эквипотенциальной поверхности, и поэтому при перемещении заряда вдоль неё совершалась бы работа. Потенциал менялся бы вдоль поверхности, и она не могла бы быть эквипотенциальной. Можно увидеть и ещё одну важную связь эквипотенциальных поверхностей с силовыми линиями поля. Если взять две близкие эквипотенциальные поверхности, то разность их потенциалов равна работе по перенесению точечного единичного положительного заряда с одной поверхности на другую. Так как сила, действующая на такой заряд, равна напряжённости поля, то $\Delta\phi=E\Delta r$‍,‍ или $E=\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$‍.‍ Это означает, что эквипотенциальные поверхности гуще там, где более сильное поле, и реже там, где поле меньше: при одинаковой разности потенциалов расстояние $\Delta r$‍‍ между поверхностями больше там, где меньше поле, и наоборот.

Вот теперь мы можем перейти к решению конкретных задач.

Поле равномерно заряженной полой сферы

Мы можем сразу утверждать, что в силу симметрии поля силовые линии направлены везде по радиусу и густота силовых линий по всем направлениям одинакова. Внутри сферы поле, очевидно, равно нулю. Иначе силовые линии поля внутри сферы были бы направлены к центру или от центра сферы. Это означало бы, что в центре сферы находится точечный заряд.

Для того чтобы найти электрическое поле вне сферы, вспомним, что напряжённость поля равна густоте силовых линий, если только полное число силовых линий, выходящих из заряда $Q$‍,‍ равно $2\pi Q$‍.‍ Проведём сферу радиуса $R$‍‍ с центром в центре заряженной сферы. Число силовых линий, пересекающих поверхность проведённой нами сферы, равно напряжённости поля, умноженной на площадь поверхности сферы: $N=E\cdot S = E\cdot 4\pi R^2$‍.‍ Согласно теореме Гаусса $N=4\pi Q$‍,‍ отсюда $E=\dfrac{Q}{R^2}$‍.‍

Напряжённость поля вне сферы такая же, как у точечного заряда, расположенного в центре сферы. Ясно, что и потенциал в любой точке поля вне сферы будет таким же, как потенциал поля точечного заряда. Потенциал всех точек, лежащих на поверхности сферы, одинаков и равен $\dfrac{Q}{r}$‍,‍ где $r$‍‍ — радиус сферы. Таким же будет потенциал любой точки внутри сферы: при перемещении заряда в эту точку от поверхности сферы мы не совершаем работы (внутри сферы напряжённость поля, а следовательно, и сила, действующая на заряд, равны нулю). Зависимость напряжённости электрического поля равномерно заряженной сферы от расстояния до центра сферы показана на рисунке 6, б.

Отсутствие поля внутри заряженной сферы можно, конечно, показать и непосредственно из закона Кулона. Возьмём внутри сферы произвольную точку $A$‍‍ (рис. 7). Представим себе узкий конус, который идёт из точки $A$‍,‍ вырезая на поверхности сферы две маленькие сферические площадки $\Delta S_1$‍‍ и $\Delta S_2$‍.‍ Если $r_1$‍‍ и $r_2$‍,‍ — расстояния от точки $A$‍‍ до этих участков, то $\dfrac{\Delta S_1}{\Delta S_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$‍.‍ Так как сфера заряжена равномерно, то заряды участков пропорциональны их площадям. Поэтому $\dfrac{q_1}{q_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$‍,‍ а поля создаваемые точкой $A$‍‍ этими участками, взаимно уничтожаются: $$ \dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{\dfrac{q_1}{r_1^2}}{\dfrac{q_2}{r_2^2}}=1. $$

Таким образом можно разбить на пары участков всю сферу. Следовательно, поле в точке $A$‍‍ равно нулю.

Представление о силовых линиях позволило пол�