Асламазов Л. Г.

Электростатика на языке силовых линийАсламазов Л. Г. Электростатика на языке силовых линий // Квант. — 1970. — № 11. — С. 2‍—‍10.‍‍

Вставить иллюстрации

Обычно электростатику изучают так: записывают закон Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов $q_1$‍‍ и $q_2$‍:‍ $F=\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$‍‍ ($r$‍‍ — расстояние между зарядами) — и затем с помощью иногда простых, а иногда сложных математических расчетов получают всевозможные следствия этого закона, считая, что заряд любого тела можно представить как совокупность распределенных нужным образом точечных зарядов.

Но часто точный математический анализ электрического поля и распределения зарядов оказывается слишком сложным. Тогда на помощь приходят простые соображения — симметрия и картины силовых линий поля. Конечно, они не могут дать столь же полного представления, как математические расчеты, зато наглядны и помогают «увидеть» и предсказать, какие особенности будет иметь электрическое поле и как будут взаимодействовать заряды.

Что такое силовые линии поля

Возьмем точечный заряд $q$‍.‍ Этот заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое полностью определено, если в каждой точке пространства задана напряженность поля — сила, которая действовала бы на точечный единичный положительный заряд, если бы его поместили в эту точку. Для того чтобы наглядно представить электрическое поле во всем пространстве, можно попробовать изображать его множеством векторов, нарисованных в различных точках пространства так, чтобы каждый из них показывал напряженность поля (ее величину и направление) в той точке, из которой он выходит. Однако сразу становится очевидным, что такой способ изображения поля неудачен: отдельные стрелки, накладываясь друг на друга, создадут запутанную картину, разобраться в которой будет невозможно.

Фарадей предложил изображать поле силовыми линиями. Это линии, направление которых в каждой точке совпадает с направлением напряженности поля в этой точке. Для точечного заряда нарисовать силовые линии совсем просто. Это прямые (лучи), проходящие через точку, в которой находится заряд. Если заряд положительный, то силовые линии направлены от заряда (рис. 1); силовые линии поля, созданного отрицательным зарядом (в дальнейшем для краткости мы будем говорить «поле заряда»), идут к заряду.

Попробуем нарисовать картину силовых линий поля в более сложном случае — для двух одинаковых по величине точечных зарядов — положительного и отрицательного (эту пару зарядов называют «диполем»). Вспомним принцип суперпозиции: напряженность поля системы зарядов равна сумме напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами (рис. 2). Нельзя ли получить картину силовых линий поля диполя, сложив картины силовых линий полей отдельных зарядов или, точнее, наложив их одну на другую? К сожалению, нет. В этом случае силовые линии поля должны были бы пересекаться. Это, очевидно, невозможно, так как в точке пересечения силовых линий напряженность поля имела бы два значения! Значит, простым наложением картин силовых линий полей точечных зарядов нельзя нарисовать картин силовых линий поля системы зарядов.

Качественную картину силовых линий можно получить, поместив в электрическое поле взвесь твердых частичек в жидком изоляторе. В электрическом поле на концах частичек наводятся одинаковые разноименные заряды. Благодаря этому они ориентируются вдоль силовых линий поля. Для поля диполя получается картинка, показанная на рисунке 3, а. Силовые линии идут от положительного заряда к отрицательному (рис. 3, б). Если взять два одинаковых одноименных заряда, то картина силовых линий будет такой, как показанная на рисунках 4, а и 4, б.

Такие же картины получаются, если аккуратно найти векторы напряженности электрического поля в различных точках и по ним уже строить силовые линии поля (рис. 2).

Рассматривая рисунки З и 4, можно заметить, что при разноименных зарядах силовые линии как бы связывают заряды между собой, а в случае одноименных зарядов силовые линии как бы расталкиваются. Если приписать силовым линиям свойства сокращаться вдоль своей длины и расталкиваться в поперечном направлении, то мы могли бы сказать, что силовые линии, связывающие разноименные заряды, притягивают их друг к другу, а силовые линии разноименных зарядов, расталкиваясь, отталкивают и сами заряды друг от друга. Конечно, нельзя считать, что силовые линии поля существуют реально, но при таком толковании часто один лишь взгляд на картину поля позволяет предсказать результат взаимодействия зарядов. Эти же «свойства» силовых линий, как нетрудно сообразить, могли бы нам помочь нарисовать правильную картину силовых линий.

Теорема Гаусса

Итак, картина силовых линий показывает направление вектора напряженности поля в каждой точке. Но это еще не все. Оказывается, эти картины могут говорить и о большем — о величине напряженности поля.

Возьмем точечный положительный заряд $q$‍.‍ Выделим конус с вершиной в точке, в которой находится заряд, и проследим за силовыми линиями, проходящими через площадку с площадью $S_1$‍,‍ находящуюся на расстоянии $r_1$‍,‍ от заряда (рис. 5). На расстоянии $r_2$‍,‍ эти же силовые линии будут проходить через площадку с большей площадью $S_2$‍.‍ Отношение диаметров площадок равно отношению $\dfrac{r_2}{r_1}$‍,‍ поэтому $\dfrac{S_2}{S_1}=\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^2$‍.‍ Но это означает, что плотность силовых линий $n=\dfrac{N}{S}$‍‍ (число силовых линий, проходящих через площадку единичной площади) обратно пропорциональна квадрату расстояния до заряда. Так как $\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{r_2^2}{r_1^2}$‍‍ то $n\sim \dfrac{1}{r^2}$‍.‍

Точно так же меняется напряженность поля точечного заряда: $E=\dfrac{q}{r^2}$‍‍ Таким образом, плотность силовых линий пропорциональна напряженности поля: $n\sim E$‍.‍ Нужно только, чтобы силовые линии нигде не прерывались. Для точечного положительного заряда силовые линии должны начинаться на заряде и уходить на бесконечность. В случае отрицательного заряда силовые линии должны идти из бесконечности и заканчиваться на заряде.

Оказывается, что всегда можно нарисовать картину силовых линий так, чтобы их плотность была пропорциональна напряженности поля. Для этого силовые линии должны всегда начинаться на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных (или уходить на бесконечность), причем, число силовых линий, выходящих из заряда или идущих к нему, должно быть пропорционально величине этого заряда.

Проведем мысленно сферу с центром в точке, в которой находится заряд. Если условиться считать, что из каждого положительного заряда выходит (а на каждом отрицательном заряде оканчивается) $4\pi q$‍‍ силовых линий, то их плотность на сферической поверхности будет равна $\dfrac{4\pi q}{4\pi r^2}=\dfrac{q}{r^2}$‍,‍ то есть будет равна напряженности поля. Полное же число силовых линий, пересекающих поверхность сферы, не зависит от ее радиуса и равно $4\pi q$‍.‍ Ясно, что таким же будет число силовых линий, выходящих из любой замкнутой поверхности, внутри которой находится заряд (или входящих в нее), какую бы форму ни имела эта поверхность.

Это утверждение называется теоремой Гаусса. Она справедлива, конечно, и для любого распределения зарядов. Можно показать, что для любой системы зарядов число силовых линий, выходящих из замкнутой поверхности произвольной формы, минус число силовых линий, входящих в нее, равно $4\pi Q$‍,‍ где $Q$‍‍ — суммарный заряд, который находится в объеме, ограниченном этой поверхностью. Если заряд $Q$‍‍ отрицателен, то число линий, которые выходят из объема, ограниченного поверхностью, меньше числа силовых линий, входящих в него. Если в объеме, ограниченном поверхностью, нет зарядов, то из него выходит столько же силовых линий, сколько и входит.

Потенциал и эквипотенциальные поверхности

Прежде чем приступить к реализации наших знаний — решению конкретных задач, вспомним еще об одной характеристике поля — потенциале. Дело в том, что для него тоже можно отыскать геометрическую картину, тесно связанную с картиной силовых линий. Эта связь часто помогает рисовать и анализировать картину силовых линий поля.

Напомним сначала, что такое потенциал электрического поля.

Если, передвигая в поле заряд, мы вернемся в начальную точку, то полная работа, которую мы совершим, будет равна нулю. Поэтому работа, которая совершается при перенесении точечного заряда из одной точки поля в другую, не зависит от формы пути. Иначе можно было бы вначале пойти по тому пути, где она меньше, а возвратиться по тому, где она больше. Полная работа не была бы равна нулю. Благодаря тому, что работа не зависит от формы пути, и можно ввести понятие потенциала. Потенциал поля в данной точке равен работе, которая совершается полем при перенесении единичного точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля положительного заряда положителен, а потенциал поля отрицательного заряда отрицателен. В первом случае сила, действующая на переносимый заряд со стороны поля, направлена в ту же сторону, в которую движется заряд, а во втором — против движения (поле совершаєт отрицательную работу). Потенциал — это скаляр, не имеющий направления в пространстве. У точечного заряда $q$‍‍ на расстоянии $r$‍‍ от него потенциал равен $\dfrac{q}{r}$‍.‍ Если надо найти потенциал поля нескольких зарядов, то мы должны сложить потенциалы полей, создаваемых отдельными зарядами, разумеется, с учетом их знаков. Как же связан потенциал с картиной силовых линий? Проведем поверхность, потенциал на которой всюду постоянен. Такие поверхности называют эквипотенциальными. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это сферы с центром в точке, в которой находится заряд. Нетрудно увидеть, что силовые линии поля всегда должны быть перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Если бы это было не так, то существовала бы составляющая напряженности поля вдоль эквипотенциальной поверхности, и поэтому при перемещении заряда вдоль нее совершалась бы работа. Потенциал менялся бы вдоль поверхности, и она не могла бы быть эквипотенциальной. Можно увидеть и еще одну важную связь эквипотенциальных поверхностей с силовыми линиями поля. Если взять две близкие эквипотенциальные поверхности, то разность их потенциалов равна работе по перенесению точечного единичного положительного заряда с одной поверхности на другую. Так как сила, действующая на такой заряд, равна напряженности поля, то $\Delta\phi=E\Delta r$‍,‍ или $E=\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$‍.‍ Это означает, что эквипотенциальные поверхности гуще там, где более сильное поле, и реже там, где поле меньше: при одинаковой разности потенциалов расстояние $\Delta r$‍‍ между поверх ностями больше там, где меньше поле, и наоборот.

Вот теперь мы можем перейти к решению конкретных задач.

Поле равномерно заряженной полой сферы

Мы можем сразу утверждать, что в силу симметрии поля силовые линии направлены везде по радиусу и густота силовых линий по всем направлениям одинакова. Внутри сферы поле, очевидно, равно нулю. Иначе силовые линии поля внутри сферы были бы направлены к центру или от центра сферы. Это означало бы, что в центре сферы находится точечный заряд.

Для того чтобы найти электрическое поле вне сферы, вспомним, что напряженность поля равна густоте силовых линий, если только полное число силовых линий, выходящих из заряда $Q$‍,‍ равно $2\pi Q$‍.‍ Проведем сферу радиуса $R$‍‍ с центром в центре заряженной сферы. Число силовых линий, пересекающих поверхность проведенной нами сферы, равно напряженности поля, умноженной на площадь поверхности сферы: $N=E\cdot S = E\cdot 4\pi R^2$‍.‍ Согласно теореме Гаусса $N=4\pi Q$‍,‍ отсюда $E=\dfrac{Q}{R^2}$‍.‍

Напряженность поля вне сферы такая же, как у точечного заряда, расположенного в центре сферы. Ясно, что и потенциал в любой точке поля вне сферы будет таким же, как потенциал поля точечного заряда. Потенциал всех точек, лежащих на поверхности сферы, одинаков и равен $\dfrac{Q}{r}$‍,‍ где $r$‍‍ — радиус сферы. Таким же будет потенциал любой точки внутри сферы: при перемещении заряда в эту точку от поверхности сферы мы не совершаем работы (внутри сферы напряженность поля, а следовательно, и сила, действующая на заряд, равны нулю). Зависимость напряженности электрического поля равномерно заряженной сферы от расстояния до центра сферы показана на рисунке 6, б.

Отсутствие поля внутри заряженной сферы можно, конечно, показать и непосредственно из закона Кулона. Возьмем внутри сферы произвольную точку $A$‍‍ (рис. 7). Представим себе узкий конус, который идет из точки $A$‍,‍ вырезая на поверхности сферы две маленькие сферические площадки $\Delta S_1$‍‍ и $\Delta S_2$‍.‍ Если $r_1$‍‍ и $r_2$‍,‍ — расстояния от точки $A$‍‍ до этих участков, то $\dfrac{\Delta S_1}{\Delta S_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$‍.‍ Так как сфера заряжена равномерно, то заряды участков пропорциональны их площадям. Поэтому $\dfrac{q_1}{q_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2}$‍,‍ а поля создаваемые точкой $A$‍‍ этими участками, взаимно уничтожаются: $$ \frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{q_1}{r_1^2}}{\frac{q_2}{r_2^2}}=1. $$

Таким образом можно разбить на пары участков всю сферу. Следовательно, поле в точке $A$‍‍ равно нулю.

Представление о силовых линиях позволило получить этот же результат проще и быстрее.

Равномерно заряженная плоскость и плоский конденсатор

Рассмотрим теперь поле бесконечной (правильнее сказать, очень большой) равномерно заряженной плоскости, на единице площади которой находится заряд $\sigma$‍.‍

Ясно, что силовые линии поля, создаваемого плоскостью, перпендикулярны к плоскости и их плотность всюду одинакова (рис. 8): если бы силовые линии были наклонены в одну сторону, то это означало бы, что одно направление вдоль плоскости отличается от других; если бы плотность силовых линий была в разных точках вблизи плоскости различна, то это означало бы, что одни точки, чего, разумеется, быть не может, отличаются чем-то от других.

Проведем цилиндрическую поверхность с основаниями, параллельными плоскости и равными по площади единице. Силовые линии поля не пересекают боковой поверхности цилиндра, а число силовых линий, проходящих через основания цилиндра, согласно теореме Гаусса, равно $4\pi\sigma$‍.‍ Это означает, что в каждом направлении (налево от плоскости и направо от нее) проходит $2\pi\sigma$‍‍ силовых линий через единицу площади (рис. 8). Таким образом, напряженность поля равномерно заряженной бесконечной пластины везде одинакова, не зависит от расстояния до пластины и равна $$ E=2\pi\sigma. $$

Если взять теперь две противоположно заряженные плоскости (рис. 9), то по обе стороны от конденсатора, образованного этими плоскостями, поля уничтожают друг друга. Внутри же между пластинами поля направлены одинаково и, складываясь, дают напряженность поля $$ E=4\pi\sigma. $$ Хотя поле у краев конденсатора будет искажено, в средней части мы можем считать его одинаковым как по величине, так и по направлению. Такое поле называют однородным.

Проводник в электрическом поле

До сих пор мы считали положение зарядов заданным, и нам оставалось только найти электрическое поле, которое создают эти заряды. Задача усложняется, когда у нас имеются проводники, по которым заряды могут свободно перемещаться. Если, например, поднести к проводнику заряд (рис. 10), то электроны в проводнике начнут двигаться под действием поля этого заряда. На поверхности проводника будут появляться при этом заряды, поле которых внутри проводника направлено противоположно внешнему полю. Это будет продолжаться до тех пор, пока поле внутри проводника не станет равным нулю. При этом заряды, появившиеся на поверхности проводника, изменят, конечно, и поле вне проводника.

Поле внутри проводника всегда равно нулю. Иначе это поле вызвало бы движение свободных электронов, которые находятся в проводнике. По той же причине у поверхности проводника напряженность поля должна быть обязательно направлена перпендикулярно к поверхности. Потенциал всех точек проводника одинаков (при перемещении заряда внутри проводника не совершается никакой работы). В частности, эквипотенциальной является поверхность проводника.

Мы можем сделать еще один вывод. Если проводник заряжен, то заряды расположены только на его поверхности. В противном случае не будет равным нулю поле внутри проводника.

Для того чтобы представить себе, как распределяется заряд по поверхности проводника, рассмотрим простой случай — две сферы с радиусами $r$‍‍ и $R$‍,‍ соединенные тонким проводником. Конечно, заряд одной сферы сказывается на распределение заряда по поверхности другой, но так как нас интересует сейчас только качественный результат, то этим мы пренебрежем. Полагая также, что сферы находятся далеко друг от друга (по сравнению с их радиусами), мы можем считать, что потенциал большей сферы равен $\dfrac{q_1}{R}$‍,‍ а меньшей $\dfrac{q_2}{r}$‍‍ ($q_1$‍‍ и $q_2$‍‍ — находящиеся на них заряды). Записав условие равенства потенциалов сфер: $\dfrac{q_1}{R}=\dfrac{q_2}{r}$‍,‍ мы найдем, что заряды на сферах пропорциональны их радиусам. Плотность заряда, то есть заряд, приходящийся на единицу площади поверхности сферы, будет больше у меньшей сферы: $n_2=\dfrac{q_2}{r^2}$‍;‍ $n_1=\dfrac{q_1}{R^2}$‍‍ и $\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{r}{R}$‍.‍ Так как напряженность поля у поверхности проводника пропорциональна плотности заряда, то она будет больше вблизи меньшей сферы и меньше у большей сферы. (С единицы площади поверхности выходит т силовых линий.)

Аналогично распределяется заряд и по поверхности любого проводника: плотность заряда, а значит, и напряжённость поля у поверхности наибольшая в тех местах, которые имеют наибольшую кривизну, например, у вытянутого конца проводника.

Это можно увидеть и рисуя эквипотенциальные поверхности. Вдали от тела поле такое же, как у точечного заряда, поэтому эквипотенциальные поверхности — это сферы. Вблизи заряженного проводника эквипотенциальные поверхности повторяют форму тела (рис. 10). По мере удаления от проводника эквипотенциальные поверхности должны трансформироваться, приближаясь к сферам. Нарисовав так несколько эквипотенциальных поверхностей, нетрудно заметить, что они проходят ближе друг к другу там, где поверхность проводника наиболее неровная и выпуклая. В то же время возле участков с вогнутой поверхностью 3KBHпотенциальные поверхности идут реже. А это и означает, что поле больше вблизи сильно искривленных выпуклых участков и меньше у вогнутых участков.

Равновесие системы зарядов, устойчивость атомов

Еще совсем недавно, в начале нашего века, не было понятно, почему устойчив атом. Одна из моделей атома была такой: положительный заряд атома равномерно распределен по шару, в центре которого устойчиво покоятся электроны (модель Томсона). Однако опыты Резерфорда показали, что положительный заряд атома сконцентрирован в области, размеры которой малы по сравнению с размером атома. И тогда стало ясно, что частицы в атоме не могут находиться в состоянии покоя. Для того чтобы атом был устойчив, они непременно должны двигаться.

В самом деле, мы теперь можем легко показать, что неподвижные точечные заряды не могут сами по себе образовывать устойчивые системы. Действительно, для того чтобы заряд в некоторой точке поля находился в устойчивом равновесии, необходимо, чтобы в этой точке на него не действовала сила (напряженность была равна нулю) и чтобы при отклонении заряда в любую сторону на него действовала сила, возвращающая его в ту точку, в которой находился этот заряд (векторы напряженности поля во всех окрестных точках должны быть направлены в ту точку, в которой находится заряд). Но это невозможно, так как для того, чтобы поле было таким, в точке, в которой находится заряд, должен еще находиться заряд противоположного знака! Таким образом, при смещении заряда равновесие обязательно нарушится, и заряды либо слипнутся, либо разлетятся.

Представление о вращающихся вокруг ядер электронах было впервые введено Резерфордом. И хотя динамическая модель атома с электронами, вращающимися вокруг ядра, столкнулась со многими на первый взгляд неразрешимыми трудностями, дальнейшее развитие физики показало. ее правильность. Но это уже тема для другого рассказа.

Задачи

1. Нарисуйте примерную картину силовых линий поля двух разноименных и различных по величине зарядов.

2. Могут ли силовые линии электростатического поля быть замкнутыми?

3. Иногда говорят, что силовые линии — это траектории, по которым двигался бы в поле положительный заряд, если его, внеся в это поле, предоставить самому себе. Правильно ли это утверждение?

4. Имеются две концентрические сферы с радиусами $R_1$‍‍ и $R_2$‍‍ и зарядами $q_1$‍‍ и $q_2$‍‍ ($R_1\lt R_2$‍).‍ Как напряженность поля зарядов сфер зависит от расстояния до их общего центра?

5. Как напряженность поля однородно заряженного шара зависит от расстояния до центра шара?

6. Найдите, как зависит от расстояния напряженность поля бесконечной равномерно заряженной нити.

7. Найдите напряженность поля очень длинного равномерно заряженного цилиндра.

8. Покажите, что внутри полого проводника поле равно нулю независимо от формы проводника и полости (экранирование).