Коткин Г. Л.

Столкновение шариковКоткин Г. Л. Столкновение шариков // Квант. — 1973. — № 3. — С. 19‍—‍21.‍‍

Рассматривая упругое столкновение шариков, мы ограничимся лишь грубыми оценками, то есть при вычислении сил, действующих во время столкновения, и времени столкновения шариков нас не должна смущать ошибка в несколько раз.

Главное — правильно представить себе, что же происходит с шариками. Ясно, что после соприкосновения они деформируются. Но даже в момент остановки деформация сравнительно велика лишь вблизи площадки соприкосновения шариков. В результате деформации возникает сила, стремящаяся вернуть шарики в первоначальное состояние. Эта сила подобно силе упругости пружины отбрасывает шарики друг от друга.

Попытаемся определить силу упругости этой «пружины». Рассмотрим центральное соударение двух шариков‍. Учтём, что область проникновения деформации невелика, и заменим сильно деформированную область шарика цилиндром, радиус которого равен радиусу $r$‍‍ площадки соприкосновения шариков и высота (то есть глубина проникновения деформации) тоже равна $r$‍‍ (рис. 1). Пусть смещение центра шарика за время от момента касания шариков до их остановки равно $x$‍.‍ Сила упругости «пружины» определяется законом Гука: $$ F=ES\,\dfrac{\Delta l}{l}, $$ где $E$‍‍ — модуль Юнга, $S=\pi r^2$‍,‍ $l=r$‍,‍ $\Delta l=x$‍.‍ Таким образом, $$ F\sim Erx. $$ (Здесь величина $Er$‍‍ играет роль коэффициента упругости $k$‍.)‍ Знак $\sim$‍‍ означает равенство по порядку величины, то есть с возможной ошибкой в несколько раз.

Рисунок номер 1

Выразим теперь $r$‍‍ через $x$‍.‍ Для этого предположим (опять приближённо), что шарик «прогнулся» только на участке $ABC$‍‍ (рис. 2). Из подобия треугольников $ABD$‍‍ и $ADC$‍‍ следует соотношение $$ \dfrac{r}{x}=\dfrac{2R-x}{r}, $$ где $R$‍‍ — радиус шарика. Поскольку $x\ll R$‍‍ и множителем 2 мы можем пренебречь, получаем $$ r\sim\sqrt{Rx}. \tag{1} $$ Подставляя (1) в выражение для силы $F$‍,‍ находим $$ F\sim ER^{\frac12}x^{\frac32}. \tag{2} $$

Рисунок номер 2

Выразим величину $x$‍‍ через известные константы и скорость $v$‍.‍ В момент остановки шарика вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию деформации. Потенциальная энергия деформации равна работе силы упругости на пути $x$‍:‍ $$ U\sim Fx\sim ER^{\frac12}x^{\frac52}. $$

Это означает, что $\dfrac12\,mv^2=U\sim ER^{\frac12}x^{\frac52}$‍.‍ Но масса шарика $m=\dfrac43\,\pi R^3\rho$‍.‍ Таким образом, $$ \dfrac12\,mv^2=\dfrac{2\pi}{3}\,R^3\rho v^2\sim R^3\rho v^2. $$ Следовательно, $$ R^3\rho v^2\sim ER^{\frac12}x^{\frac52}, $$ откуда $$ x\sim\dfrac{\rho^{\frac25}v^{\frac45}}{E^{\frac25}}=R\left(\dfrac{\rho v^2}{E}\right)^{\frac25}. $$ Удобно обозначить $\dfrac{E}{\rho}=u^2$‍‍‍, тогда $x\sim R\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac45}$‍.‍ Подставим найденное значение $x$‍‍ в формулу (2): $$ F\sim ER^2\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac65}. \tag{3} $$ Оценим время столкновения шариков‍: $$ t\sim\dfrac{x}{v}\sim\dfrac{R}{u}\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\frac15}. \tag{4} $$

Пусть при скорости $v=5\,\text{см/с}$‍‍ сталкиваются два стальных шарика радиуса $R=1\,\text{см}$‍‍ (масса такого шарика $\sim30\,\text{г}$‍).‍ По формулам (4) и (3) получаем $$ \begin{gather*} t\sim\dfrac{10^{-2}}{5\cdot10^{-3}}\left(\dfrac{5\cdot10^3}{5\cdot10^{-2}}\right)^{\frac15}\text{с}\sim2\cdot10^{-5}\,\text{c},\\ F\sim2\cdot10^{11}\cdot10^{-4}\left(\dfrac{5\cdot10^{-2}}{5\cdot10^{-3}}\right)^{\frac65}\text{Н}\sim20\,\text{Н}. \end{gather*} $$

Заметим, что чем больше скорость шариков, тем меньше время их соударения.

Провести оценку времени соударения можно и по-другому. Следуя аналогии с пружиной, будем считать, что время соударения шариков соответствует полупериоду колебаний шарика массы $m$‍‍ на пружине жёсткости $k\sim Er$‍,‍ т. е. $$ t\sim\dfrac{T}{2}=\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}, \tag{5} $$ полупериод же тем меньше, чем больше жёсткость‍.

Сделанная нами оценка неприменима при слишком больших скоростях шариков. В этом случае деформации настолько велики, что перестаёт выполняться закон Гука. Для стали закон Гука справедлив при относительных деформациях $\dfrac{\Delta l}{l}\le10^{-2}$‍.‍ Из этого условия можно определить максимальную скорость столкновения шариков. Наибольшая деформация шариков («пружины») $\dfrac{\Delta l}{l}\sim\dfrac{x}{r}\sim\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac25}\lesssim10^{-2}$‍,‍ откуда $$ v\lesssim10^{-5}u\sim5\cdot10^{-2}\,\text{м/с}=5\,\text{см/с}. $$

Можно сделать подобную оценку времени и силы взаимодействия при столкновении торцами двух одинаковых цилиндров длины $l$‍‍ и радиуса $R$‍.‍ В этом случае область относительно большой деформации распространяется на объём каждого цилиндра целиком. Предоставляем выкладки (более простые, чем для шариков) читателям и приведём только результаты: $t_1\sim\dfrac{l}{u}$‍,‍ $F_1\sim ER^2\,\dfrac{v}{u}$‍.‍ Сила взаимодействия при столкновении цилиндров оказывается больше, чем при столкновении шариков: $\dfrac{F_1}{F}\sim\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\frac15}$‍,‍ а время при $l\sim R$‍‍ — меньше: $\dfrac{t_1}{t}\sim\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac15}$‍.‍ Для стальных цилиндров, сталкивающихся со скоростью $5\,\text{см/с}$‍,‍ $\left(\dfrac{u}{v}\right)^{\frac15}=10$‍.‍ Пожалуй, самое интересное отличие этих результатов от оценок для шариков — это независимость времени $t$‍‍ от скорости движения цилиндров.

Нужно, однако, иметь в виду, что явления, происходящие при столкновении стержней, гораздо сложнее, чем при столкновении шариков. Деформированная область может расширяться в веществе не мгновенно, а со скоростью звука, по порядку величины равной $u$‍.‍ Поэтому деформация полностью охватывает стержни за время $\sim\dfrac{l}{u}$‍,‍ т. е. в течение всего времени соударения по стержням распространяются бегущие волны сжатия.

При столкновении шариков деформация распространяется на область «пружины» за время $\tau\sim\dfrac{r}{u}\sim\dfrac{R}{u}\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac25}$‍‍‚ гораздо меньшее времени соударения $t$‍:‍ $\dfrac{\tau}{t}\sim\left(\dfrac{v}{u}\right)^{\frac35}\ll1$‍.‍ Поэтому можно считать, что деформация распространяется на область «пружины» мгновенно (что мы и делали).

Упражнения