Савин А. П.

Об одной нерешённой проблемеСавин А. П. Об одной нерешённой проблеме // Квант. — 1971. — № 3. — С. 20.‍‍

В этом номере «Кванта» вы прочтёте статью Коган Б. Ю. Удивительные катки‍. В ней рассматриваются фигуры, которые могут поворачиваться между двумя параллельными прямыми, всё время касаясь их обеих.

Нетрудно понять, что любая ограниченная фигура может, поворачиваясь, касаться двух пересекающихся прямых.

Зафиксируем на плоскости точку $A$‍‍ и рассмотрим все фигуры, которые, поворачиваясь, касаются данных прямых, причём их граница проходит через точку $A$‍‍ (см. рис.). До сих пор неизвестно, существуют ли фигуры, отличные от круга, обладающие таким свойством.

Рисунок

Эта проблема была поставлена около 15 лет назад академиком А. Н. Колмогоровым на лекции для московских школьников. Её решение имеет и практическое значение. На некоторых заводах производят проверку цилиндрических деталей следующим образом: деталь укладывают в лоток и вращают так, чтобы она касалась обеих сторон лотка, затем сверху подводится «щуп» (стержень, который может совершать продольные перемещения) до соприкосновения с деталью. Если во время вращения щуп сдвигается, то деталь бракуется.

Таким образом, если существуют отличные от круга фигуры, удовлетворяющие условиям задачи, то цилиндры, имеющие в сечении такую фигуру, будут великолепно проходить через ОТК.