«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В клетках прямоугольной таблицы размерами $m \times n$ записаны любые натуральные числа. За один ход разрешается удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равными нулю.
На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое учёных, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.
$N$ гирь, каждая из которых весит целое число граммов, разложены на $K$ равных по весу куч. Докажите, что можно не менее чем $K$ разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся $(N - 1)$ гири уже нельзя разложить на…
Для каких $n$ существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из $n$ звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
В таблице размерами $m \times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчёркнуто $k$ наибольших чисел ($k\le m$), в каждой строке — $l$ наибольших чисел ($l\le n$). Докажите, что по крайней мере…
Докажите, что существует такая бесконечная ограниченная последовательность $\{x_n\}$, что для любых различных $m$ и $k$ выполнено неравенство $$ |x_m-x_k|\ge|m-k|^{-1}. $$
На химической конференции присутствовало $N$ учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, иногда — лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного…
Обозначим через $S(n)$ сумму всех цифр натурального числа $n$.