«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что при любом простом $p$ число $$ \underbrace{11 \ldots 1}_{p}\underbrace{22 \ldots 2}_{p}\underbrace{33 \ldots 3}_{p} \ldots \underbrace{99 \ldots 9}_{p} - 123456789 $$ делится на $p$.
Дан треугольник $ABC$. Сколько существует таких точек $D$, что периметры четырехугольников $ADBC$, $ABDC$ и $ABCD$ одинаковы?
Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$
Докажите, что
Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами $a$, $b$ и $c$ углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma$ меньше $\pi$.