«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В некоторой стране из каждого города в любой другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездки по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута…
Докажите, что для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше $\sqrt{2}$.
Квадратная таблица $n\times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:
На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и вместо него написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967, 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа
Учитель написал на доске квадратный трёхчлен $x^2+10x+20$. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при $x$ или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен…
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против…
На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа $a$ и $b$, то можно написать число $ab+a+b$. Можно ли этим способом получить