«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Конечная последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n-1$ сумма $$ a_1a_{k+1}+a_2a_{k+2}+\ldots+a_{n-k}a_n $$ является нечётным числом.
Существует ли последовательность
Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_n$ не меньше $na_1$.
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$, $B$, $C$. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
Два связиста играют в такую игру. Имеются $n$ телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры…
В точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа $1$, $2$, $\dots$, $n$.
В стране, кроме столицы, больше 100 roродов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть…
На окружности расставлены $4k$ точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, $\ldots$, $4k$.
В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более $\dfrac1{k-1}$ часть авиалиний таким образом, что среди любых $k$ городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если
В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать кольцевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.
В некоторых клетках прямоугольной таблицы из $n$ строк и $m\gt n$ столбцов расставлены звёздочки так, что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что найдётся такая звёздочка, что в её строке звёздочек больше, чем в её столбце.
На квадратный лист бумаги со стороной $a$ посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Докажите, что если каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы, то суммарная площадь клякс не больше $a$.