«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Можно ли расставить числа $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$ в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, поставленных между ними?
На плоскости дано 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть $M$ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества $M$ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре…
Докажите, что для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, принадлежащих отрезку $[0; 1]$, выполнено неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n+1)^2 \ge 4(x_1^2 + x_2^2+\ldots+x_n^2). $$
На плоскости дан набор из $n$ векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор из $n$ векторов, сумма которых имеет длину