Докажите, что для каждого натурального $n \gt 1$ верно тождество $$
\sin x \cdot
\sin \left(x+\frac{\pi}{n}\right) \cdot
\sin \left(x+\frac{2 \pi}{n}\right) \cdot
\ldots \cdot
\sin \left(x+\frac{(n-1) \pi}{n}\right)=
c_n \sin nx,
$$ где $c_n$ — некоторое число (зависящее от $n$), и найдите $c_n$.