Гервер М. Л. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М164
На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость (рис. 1), записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева, — равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и…
Задача М171
На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи только линейки построить отрезок длины $\sqrt{7}$‍.‍
Задача М172
Докажите, что при любом простом $p$‍‍ число $$ \underbrace{11 \ldots 1}_{p}\underbrace{22 \ldots 2}_{p}\underbrace{33 \ldots 3}_{p} \ldots \underbrace{99 \ldots 9}_{p} - 123456789 $$ делится на $p$‍.‍
Задача М175
1. Каждая сторона правильного треугольника разбита на $m$‍‍ равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезающие треугольник на $m^2$‍‍ маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно…
Задача М195
Дан треугольник $ABC$‍.‍ Сколько существует таких точек $D$‍,‍ что периметры четырехугольников $ADBC$‍,‍ $ABDC$‍‍ и $ABCD$‍‍ одинаковы?
Задача М209
Для любого треугольника $ABC$‍‍ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$

Докажите, что
1. $S < 2$‍‍ для всех остроугольных и прямоугольных треугольников;
2. $S > 2$‍‍ для тупоугольных треугольников с…
Задача М245
Предлагается построить $N$‍‍ точек на плоскости так, чтобы все попарные расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для каждых двух точек $M_i$‍,‍ $M_j$‍‍ известно, чему должно равняться расстояние $|M_iM_j|=r_{ij}$‍‍ (здесь $i$‍‍ и…
Задача М265
Диагональ $d$‍‍ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍‍ углы $\alpha$‍,‍ $\beta$‍‍ и $\gamma$‍.‍ Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma$‍‍ меньше $\pi$‍.‍
Задача М275
1. На плоскости даны $n$‍‍ векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех $n$‍‍ векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех $k = 1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍…
Задача М383
[MISSING TEXT]
Задача М1002
1. Рассеянный математик, забыв трёхзначный код своего подъезда, нажимает кнопки (с цифрами 0, 1, $\ldots$‍,‍ 9) по одной в секунду. Дверь откроется, если три цифры кода в нужном порядке будут набраны подряд. Математик…
Задача М1426
Через $S(n)$‍‍ обозначим сумму цифр числа $n$‍‍ (в десятичной записи). Существуют ли три различных числа $m$‍,‍ $n$‍‍ и $p$‍‍ таких, что $$ m+S(m)=n+S(n)=p+S(p)? $$
Задача М1471
Лыжник проехал через каждую из $n$‍‍ деревень по 2 раза и вернулся в исходную точку. Всегда ли по его лыжне можно проехать так, чтобы в каждой из этих $n$‍‍ деревень побывать ровно один раз (возвращаться в исходную точку не обязательно)?
Задача М2028
[MISSING TEXT]

Гервер М. Л.‍14

Задачи по математике‍‍