«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Докажите следующие свойства последовательности Фибоначчи $f_1=1$, $f_2=2$, $\ldots$, $f_{k+1}=f_k+f_{k-1}$:
Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, т. е. что для любого набора из $n$ цифр $a_1$, $a_2$, $\ldots$,…
С фотографии срисован (рис. 2) контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причём более длинная стена на фотографии слева (остальные части контура на фотографии загорожены веткой дерева). Требуется:
Докажите, что из 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, $\ldots$, 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.
Пусть $0\le i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$ — целые числа. Докажите, что количество нечётных коэффициентов у многочлена $$ (1+x)^{i_1}+(1+x)^{i_2}+\ldots+(1+x)^{i_n} $$ не меньше, чем у многочлена $(1+x)^{i_1}$.
Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая $n$-звенная плоская ломаная, если: