Найдите сумму $$
1\cdot n + 2\cdot (n-1) + 3\cdot (n-2)+ \ldots + n\cdot 1.
$$
Попробуйте решить следующую, более общую задачу: найти сумму $$\begin{aligned}
S_{n,k}={}&[1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k] \times [n(n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k+1)]+{}\\
{}+{}& [2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (k+1)] \times [(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot (n-k)]+{}\\
{}+{}& [3\cdot 4\cdot \ldots \cdot (k+2)] \times [(n-2)(n-1)\cdot\ldots\cdot (n-k-1)]+{}\\
{}+{}& {\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots} +{}\\
{}+{}& [(n-k)(n-k+1)\cdot \ldots \cdot (n-1)] \times [(k+1)k \cdot\ldots\cdot 2]+{}\\
{}+{}& [(n-k+1)(n-k+2)\cdot \ldots \cdot n] \times [k(k-1) \cdot\ldots\cdot 1].
\end{aligned}
$$