Среди чисел от 1 до 1986 имеются ровно два — $729=3^6$ и $1458=2\cdot3^6$, — делящиеся на $3^6$; наибольшая степень З, на которую могут делиться остальные числа, — $3^5$. Таким образом, всевозможные произведения $mn$ ($1\le m\lt n\le1986$), за исключением $729\cdot1458=2\cdot3^{12}$, содержат множителем число 3 самое большее в степени 11. Приведя сумму всех дробей $\dfrac1{mn}$ $\Big($кроме $\dfrac1{729\cdot1458}\Big)$ к наименьшему общему знаменателю, мы получим дробь вида $\dfrac a{3^{11}\cdot b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, причём $b$ не делится на 3. Пусть $s$ — сумма, рассматриваемая в задаче, тогда $$s-\dfrac a{3^{11}b}=\dfrac1{2\cdot3^{12}},$$ или $2\cdot3^{12}sb-6a=b$. При целом $s$ левая часть здесь делится на 3, а правая — нет. Поэтому $s$ не может быть целым.
