Задача М994‍‍‍

Ответ: $k=\dfrac23$‍.‍ При $a=b=c$‍‍ и $k=\dfrac23$‍‍ данное неравенство обращается в равенство, поэтому искомое значение $k$‍‍ не может быть больше $\dfrac23$‍.‍ Но при $k=\dfrac23$‍‍ можно с помощью тождественных преобразований привести неравенство к виду $$ \frac16\left(\frac52\Big((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\Big)+(a^2-bc)^2+(b^2-ca)^2+(c^2-ab)^2\right)\ge0, $$ следовательно, оно справедливо при всех $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и искомое значение $k$‍‍ в точности равно $\dfrac23$‍.‍