Задача М992‍‍

Пусть $A$‍‍ — произвольный выпускник. Достаточно показать, что найдётся такой выпускник $B$‍,‍ который дружит одновременно с двумя друзьями $A$‍‍ (тогда $A$‍‍ может пригласить $B$‍‍ и этих двух друзей).

Если такой выпускник $B$‍‍ есть среди друзей $A$‍‍ — всё в порядке. В противном случае каждый из $m$‍‍ ($m\ge10$‍)‍ друзей $A$‍‍ дружит не менее чем с 8 выпускниками (не считая $A$‍),‍ которые сами с $A$‍‍ не дружат. Если бы все эти выпускники были различны, то получилось бы, что имеется не менее чем $8m\ge80$‍‍ выпускников, отличных от $A$‍‍ и его друзей; но количество таких выпускников не превосходит $90-m-1\le79$‍.‍ Это означает, что какие-то двое друзей $A$‍‍ имеют общего друга $B$‍,‍ что и требовалось доказать.