Задача М952‍‍

a) Ответ: один из примеров — $a=2+\sqrt{3}$‍.‍ Действительно, поскольку $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$‍,‍ $$ \{a\}+\left\{\dfrac{1}{a}\right\}=(\sqrt{3}-1)+(2-\sqrt{3})=1 $$ Вообще, годится любое число вида $n\pm \sqrt{n^2-1}$‍,‍ где $n$‍‍ — целое и больше 1.

б) Допустим, что число $a$‍‍ рационально и представим его в виде несократимой дроби: $a=\dfrac{m}{n}$‍.‍ Если $\{a\}+\left\{\dfrac{1}{a}\right\}=1$‍,‍ то очевидно, $a+\dfrac{1}{a}$‍‍ — это целое число; обозначим его через $k$‍.‍ Итак, $\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=k$‍,‍ то есть $m^2+n^2=kmn$‍.‍ Отсюда следует, что $m^2$‍‍ делится на $n$‍,‍ a $n^2$‍‍ — на $m$‍,‍ а поскольку $m$‍‍ и $n$‍‍ взаимно просты, это возможно лишь при $|m|=|n|=1$‍,‍ т. е. при $a=\pm 1$‍.‍ Но в этом случае $\{a\}+\left\{\dfrac{1}{a}\right\}=0$‍.‍ Следовательно, рассматриваемое уравнение не имеет рациональных решений.