Условие задачи (1985, № 10) Задача М947 // Квант. — 1985. — № 10. — Стр. 29; 1986. — № 2. — Стр. 38.
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
- Докажите, что как бы мы ни расставили знаки «
$+$ » и «$-$ » между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю. - Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «
$+$ » и «$-$ » между оставшимися числами получилась сумма, равная нулю?
Изображения страниц
Решение задачи (1986, № 2) Задача М947 // Квант. — 1985. — № 10. — Стр. 29; 1986. — № 2. — Стр. 38.
В решении обоих пунктов задачи используется следующее утверждение: сумма двух несократимых дробей
а) Записывая рассматриваемую сумму в виде $$\left(1\pm\dfrac12\pm\ldots\pm\dfrac1{10}\pm\dfrac1{12}\right)\pm\dfrac1{11},$$ мы видим, что в силу приведённого выше утверждения ни при каком выборе знаков она не обратится в нуль, так как наименьший общий знаменатель дробей в скобках не равен 11.
б) Ответ: 6. Из доказательства пункта а) следует, что дробь