Задача М933‍‍

Будем рассуждать от противного. Если утверждение задачи не верно, то в любой момент времени ровно один рыцарь в каждом клане держит золотой кубок, так как число кланов равно числу кубков. Допустим, что каждая следующая передача кубков происходит через минуту. Тогда за 13 минут — время полного оборота кубков вокруг стола — каждому рыцарю доведётся держать каждый из золотых кубков ровно по одному разу, то есть в течение $k$‍‍ минут, а всем рыцарям одного клана вместе взятым — $nk$‍‍ минут, где $n$‍‍ — число рыцарей в этом клане. Таким образом, $nk=13$‍,‍ что невозможно при $1\lt k\lt13$‍,‍ поскольку число 13 простое.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Если бы общее число рыцарей $r$‍‍ делилось на $k$‍:‍ $r=kn$‍,‍ то было бы нетрудно построить пример, когда в любой момент лишь у одного рыцаря из каждого клана золотой кубок: достаточно рассадить рыцарей каждого клана в вершинах правильного $n$‍‍-угольника, а $k$‍‍ золотых кубков дать $k$‍‍ сидящим подряд рыцарям (из разных кланов).