Условие задачи (1985, № 7) Задача М932 // Квант. — 1985. — № 7. — Стр. 42; 1985. — № 11. — Стр. 36—37.
В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может одним выстрелом прострелить анаконду сразу в 6 местах. Не преувеличивает ли барон? (Анаконду можно считать произвольной ломаной длины 10, расположенной внутри квадрата
Изображения страниц
Решение задачи (1985, № 11) Задача М932 // Квант. — 1985. — № 7. — Стр. 42; 1985. — № 11. — Стр. 36—37.
Очевидно, что длина любого отрезка не превосходит суммы длин его проекций на любые две перпендикулярные прямые (гипотенуза прямоугольного треугольника меньше суммы катетов), причём равенство достигается, только если отрезок параллелен одной из прямых. Отсюда следует, что сумма проекций всех звеньев ломаной на две перпендикулярные стороны квадрата больше 10, значит, сумма их проекций на одну из сторон больше 5. Поэтому хотя бы одна из точек этой стороны должна лежать внутри проекций не менее чем 6 звеньев ломаной. Барону достаточно выстрелить из этой точки перпендикулярно стороне.
Из рисунка на полях видно, что анаконда может так расположиться в клетке, что даже Мюнхгаузен не сумеет прострелить её сразу в 7 местах.