а) Заметим, что число $n^4$ при чётном $n$ делится на 16, а при нечётном $n$ даёт при делении на 16 остаток 1. (Действительно, при $n=2k+1$
$$
n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=8k(k+1)(2k^2+2k+1),
$$
а $k(k+1)$ всегда делится на 2.)
Следовательно, остаток от деления $a^4+b^4+c^4+d^4$ на 16 равен количеству нечётных чисел среди $a$, $b$, $c$, $d$. А поскольку он должен совпадать с аналогичным остатком для $e^4$, мы получаем, что условие задачи может выполняться, только если все пять чисел чётны, или если число $e$ и ровно одно из остальных чисел нечётны. Тем самым доказано и утверждение а).
б) Для остатка от деления числа $n^4$ на 5 справедливо утверждение, аналогичное доказанному в пункте а): этот остаток равен 0 или 1 в зависимости от того, делится $n$ на 5 или нет. (Действительно, если $n=5k\pm1$, то $n^2-1=5k(5k\pm2)$ делится на 5; если $n=5k\pm2$, то $n^2+1=5k(5k\pm4)+5$ делится на 5. Поэтому $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$ всегда делится на 5, если $n$ не кратно 5. Это утверждение есть частный случай так называемой малой теоремы Ферма.)
Теперь точно так же, как в решении пункта а), доказывается, что либо все числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ делятся на 5, либо число $e$ и ровно одно из остальных четырёх не делятся на 5, откуда следует б).
в) Рассмотрим три случая.
1) Число $e$ чётно. Из решения задачи а) следует, что все остальные числа тоже чётны, а из решения задачи б) — что по крайней мере три из них делятся на 5, а значит, и на 10.
2) Число $e$ делится на 5. Этот случай рассматривается так же, как предыдущий: все числа $a$, $b$, $c$, $d$ делятся на 5 и к тому же хотя бы три из них — на 2.
3) Число $e$ не делится ни на 2, ни на 5. Тогда, как следует из решений задач а) и б), среди чисел $a$, $b$, $c$, $d$ найдутся три чётных и три кратных 5, а значит, хотя бы два из них делятся на 10.
Равенство $30^4+120^4+272^4+315^4=353^4$ показывает, что числа, удовлетворяющие условию задачи, существуют и что оценки а), б), в) нельзя усилить.
В заключение отметим, что до сих пор неизвестно, имеет ли уравнение $a^4+b^4+c^4=d^4$ решение в натуральных числах. Но сравнительно недавно (1966 г.) было обнаружено решение уравнения $a^5+b^5+c^5+d^5=e^5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.
$$
