Обозначим через $\alpha$ и $l$ плоскость и перпендикулярную ей прямую, на которые проектируется куб.
Поскольку любая прямая, проходящая через внутреннюю точку куба, пересекает его поверхность в двух точках, площадь проекции куба на $\alpha$ вдвое меньше суммы площадей проекций на $\alpha$ всех его граней, т. е. равна сумме площадей проекций трёх попарно перпендикулярных граней.
С другой стороны, проекция куба на прямую $l$ совпадает с проекцией $P'Q'$ какой-то его диагонали $PQ$. Проведём через точку $P$ плоскость, перпендикулярную $l$, тогда весь куб и, в частности, точка $Q$ и концы $A$, $B$, $C$ трёх рёбер куба, выходящих из вершины $P$, лежат по одну сторону от этой плоскости. Поэтому проекции $\overrightarrow{P'Q'}$, $\overrightarrow{P'A'}$, $\overrightarrow{P'B'}$ и $\overrightarrow{P'C'}$ векторов $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{PB}$ и $\overrightarrow{PC}$ на прямую $l$ будут сонаправлены. Но $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$, следовательно, длина проекции куба на $l$ равна
$$
|\overrightarrow{P'Q'}|=|\overrightarrow{P'A'}+\overrightarrow{P'B'}+\overrightarrow{P'C'}|=|\overrightarrow{P'A'}|+|\overrightarrow{P'B'}|+|\overrightarrow{P'C'}|,
$$
т. е. равна сумме длин проекций трёх его попарно перпендикулярных рёбер ($PA$, $PB$ и $PC$).
Остаётся заметить, что угол между плоскостью любой грани куба и плоскостью $\alpha$ равен углу между перпендикулярным этой грани ребром и прямой $l$, а значит, площадь проекции этой грани на $\alpha$ равна длине проекции ребра на $l$ (при ортогональной проекции площадь грани и длина ребра умножаются на косинусы соответствующих углов).
Обобщения этой задачи на случай многомерного пространства рассматриваются в статье английского математика Дж. Мак-Муллена, опубликованной в журнале „Bull. Lond. Math. Soc.“ № 3 за 1984 год.
