Докажите, что уравнение
$$
\sin^px+\cos^qx=1,
$$
где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)\lt0$ или $p=q=2$.
Положим $t=\sin^2x$ ($\cos^2x=1-t$), $a=\dfrac p2$, $b=\dfrac q2$, тогда данное уравнение перепишется в виде
$$
f(t)=t^a+(1-t)^b=1.\tag{*}
$$
Мы должны доказать, что уравнение (*) имеет решения в интервале $(0;1)$ (области значений функции $y=\sin^2x$ на интервале $0\lt x\lt\dfrac\pi2\Big)$ тогда и только тогда, когда $(a-1)(b-1)\lt0$ или $a=b=1$. В дальнейшем будем считать, что $a\ge b$ (в противном случае с помощью замены $s=1-t$ мы перейдём к уравнению $s^b+(1-s)^a=1$ на интервале $0\lt s\lt1$).
Покажем сначала, что если $(a-1)(b-1)\gt0$ или только одно из чисел $a$ и $b$ равно 1, уравнение (*) решений не имеет. Возможны два случая: $a\gt b\ge1$ или $1\ge a\gt b$. В первом случае $t^a\lt t$, $(1-t)^b\le1-t$ и $t^a+(1-t)^b\lt t+(1-t)=1$. Второй рассматривается аналогично.
При $a=b=1$ функция $f(t)$ тождественно равна 1.
Пусть, наконец, $a\gt1\gt b$. Покажем, что на интервале $(0;1)$ найдутся две точки, $t_1$ и $t_2$, такие, что $f(t_1)\gt1$, $f(t_2)\lt1$. Отсюда по теореме о промежуточном значении непрерывной функции будет следовать, что $f(t)=1$ в некоторой точке $t$ на интервале $(t_1;t_2)$. Рассмотрим производную функции $f(t)$:
$$
f'(t)=at^{a-1}-b(1-t)^{b-1}.
$$
При $t\to0$ функция $at^{a-1}$ стремится к нулю, а $b(1-t)^{b-1}$ стремится к $b\gt0$ (графики этих двух функций — рис. 1 и рис. 2). Поэтому при достаточно малом $t_1$ на интервале $0\lt t\lt t_1$ производная $f'(t)\lt0$, следовательно, функция $f(t)$ убывает на отрезке $[0;t_1]$ и $f(t_1)\lt f(0)=1$. Аналогично, при $t\to1$ функция $at^{a-1}$ стремится к $a$, а $b(1-t)^{b-1}$ неограниченно растёт $(b-1\lt0)$. Поэтому $f'(t)\lt0$ при $t_2\lt t\lt1$, где $t_2$ достаточно близко к 1, следовательно, функция $f(t)$ убывает на отрезке $[t_2;1]$ и $f(t_2)\gt f(1)=1$. Тем самым наше утверждение доказано полностью.
