а) Ответ: 1000. Любой номер билета находится между двумя счастливыми номерами, равными $1000N+N$ и $1000(N+1)+(N+1)$ ($N$ и $N+1$ — трёхзначные числа), у которых три первые цифры совпадают с тремя последними, с учётом порядка (для номера, равного $1000A+B$, где $A$ и $B$ — трёхзначные числа, надо взять $N=A$, если $A\lt B$, и $N=A-1$, если $A\ge B$). Поскольку разность этих счастливых номеров равна 1001, длина серии несчастливых билетов не может быть больше 1000. В то же время две серии длины 1000 — от 000001 до 001000 и от 998999 до 999998 — очевидно, состоят из несчастливых номеров.
б) Ответ: две серии; они приведены в решении задачи а).
Покажем, что между любыми двумя счастливыми номерами $n=\overline{abcabc}$ и $n'=n+1001=\overline{a'b'c'a'b'c'}$ ($\overline{a'b'c'}=\overline{abc}+1$) при $\overline{abc}\ne000$ и $\overline{abc}\ne998$ имеется ещё хотя бы один счастливый номер. Отсюда, очевидно, следует, что других «несчастливых серий» длины 1000, кроме указанных выше, не существует.
Если $a\ne9$, $c\ne0$, то таким номером является $\overline{abc(a+1)b(c-1)}$; если $a=9$, то и $a'=9$, а нужный номер — $\overline{a'b'c'8b_1c_1}$, где число $\overline{b_1c_1}$ получено увеличением на 1 одной из цифр числа $\overline{b'c'}$ ($\overline{b'c'}\ne99$); если $c=0$, то $c'=1$ и нужный номер — $\overline{a'b'c'a_2b_2}$, где $\overline{a_2b_2}$ получено из $\overline{a'b'}$ уменьшением одной из цифр на 1 ($\overline{a'b'}\ne00$).
