Первое решение. Группируя первое слагаемое в левой части доказываемого неравенства с третьим, а второе с четвёртым, и пользуясь оценкой $xy\le\dfrac{(x+y)^2}4$ при $x\ge0$, $y\ge0$ (вытекающей из тождества $4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$), получим
$$
\begin{gather*}
\dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+d}+\dfrac c{d+a}+\dfrac d{a+b}=
\dfrac{a(d+a)+c(b+c)}{(b+c)(d+a)}+\dfrac{b(a+b)+d(c+d)}{(c+d)(a+b)}\ge\\\\[-6pt]
\ge\dfrac{4(a^2+b^2+c^2+d^2+ad+bc+ab+cd)}{(a+b+c+d)^2}=
2\dfrac{(a+b+c+d)^2+(a-c)^2+(b-d)^2}{(a+b+c+d)^2}\ge2.
\end{gather*}
$$
Неравенство Коши—Буняковского: для любых чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ и $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$
$$
\begin{gather*}
(x_1^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+\ldots+y_n^2)\ge\\
\ge(x_1y_1+\ldots+x_ny_n)^2.
\end{gather*}
$$
Для доказательства этого неравенства достаточно заметить, что квадратичная функция
$$
P(t){=}(x_1{+}y_1t)^2{+}{\ldots}{+}(x_n{+}y_nt)^2
$$
неотрицательна при всех $t$ и записать вытекающее отсюда условие неположительности её дискриминанта.
Второе решение. Положим $x_1=\sqrt{\dfrac a{b+c}}$, $x_2=\sqrt{\dfrac b{c+d}}$, $x_3=\sqrt{\dfrac c{d+a}}$, $x_4=\sqrt{\dfrac d{a+b}}$ и $y_1=\sqrt{a(b+c)}$, $y_2=\sqrt{b(c+d)}$, $y_3=\sqrt{c(d+a)}$, $y_4=\sqrt{d(a+b)}$. В силу неравенства Коши—Буняковского, которое доказано на полях,
$$
\begin{gather*}
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=\\
=\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\right)\times{}\qquad\\
\qquad{}\times(2ac+2bd+ab+bc+cd+da)\ge\\
\ge(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4)^2=(a+b+c+d)^2.\tag{*}
\end{gather*}
$$
Очевидно, $a^2+c^2\ge2ac$, $b^2+d^2\ge2bd$, поэтому
$$
(a+b+c+d)^2\ge4ac+4bd+2(ab+bc+cd+da).
$$
Подставляя эту оценку в (*), получим требуемое неравенство. Доказанное неравенство является частным случаем неравенства
$$
\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\dfrac{a_n}{a_1+a_2}\ge
\dfrac n2\quad(\text{при}~a_i\gt0),
$$
которое в 1954 году предложил доказать американский математик Шапиро. В нашей задаче $n=4$; случай $n=3$ рассматривался в задачах М182 и М749 «Задачника «Кванта». Вопрос о справедливости этого неравенства при других значениях $n$ оказался довольно трудным и до сих пор не получил полного ответа. В будущем мы рассчитываем вернуться к этой теме.
