На сторонах $AB$ и $CD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбираются произвольные точки $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что середины отрезков $AF$, $BF$, $CE$ и $DE$ являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек $E$ и $F$.
Обозначим середины отрезков $AF$, $BF$, $CE$ и $DE$ через $N$, $L$, $M$, $K$ соответственно (см. рисунок). Отрезки $LN$ и $KM$ — средние линии треугольников $ABF$ и $CDE$, поэтому они имеют общую внутреннюю точку — середину $O$ отрезка $EF$, равны по длине $\dfrac{AB}2$ и $\dfrac{CD}2$, а угол между ними равен углу $\alpha$ между прямыми $AB$ и $CD$. Отсюда вытекает, что $KLMN$ — выпуклый четырёхугольник (возможно, вырождающийся в треугольник или отрезок) с диагоналями $KM$ и $LN$, а его площадь $S$ по известной формуле равна
