б) Ответ: не может. Доказательство приводится ниже (пункт в)) сразу для общего случая.
в) Ответ:$2n-4$ сторон. Пример $n$-гранника с $(2n-4)$-угольной проекцией можно получить, срезая у правильного тетраэдра $ABCD$ ребро $CD$ призматической поверхностью с $n-4$ гранями, образующие которой параллельны $CD$ (рис. 2, а). Ортогональная проекция этого многогранника на плоскость, параллельную рёбрам $AB$ и $CD$, имеет $2n-4$ сторон (рис. 2, б). Докажем, что большего числа сторон получить нельзя.
Рис. 1Рис. 2
Мы можем предположить, что направление проектирования не параллельно ни одной из граней данного многогранника (иначе можно слегка повернуть многогранник; при этом число вершин проекции может лишь увеличиться). Обозначим его проекцию через $\Pi$. Рёбра многогранника, проектирующиеся на стороны многоугольника $\Pi$, образуют замкнутый контур, который разбивает поверхность многогранника на два куска. Рёбра, лежащие внутри одного куска, окрасим красным цветом, внутри другого — синим. Соответственно окрасим и проекции рёбер. В дальнейшем будем рассматривать только проекцию.
Рис. 3
Заметим, что из каждой вершины многоугольника $\Pi$ выходит по крайней мере одно красное или синее ребро. Оценим число $m_{\text{к}}$, тех его вершин, из которых выходит хотя бы одно красное ребро. Пусть $p_{\text{к}}$ — число красных рёбер; они задают некоторое разбиение многоугольника $\Pi$. Число многоугольников в этом разбиении обозначим через $n_{\text{к}}$, а число их вершин, лежащих внутри $\Pi$, — $q_{\text{к}}$, (рис. 3). Из каждой такой вершины выходит не менее трёх красных рёбер, поэтому число концов красных рёбер $2p_{\text{к}}$, не меньше $m_{\text{к}}+3q_{\text{к}}$, т. e. $$
m_{\text{к}}+3q_{\text{к}}\le2p_{\text{к}}.\tag1
$$
Ниже мы докажем, что $$
p_{\text{к}}=n_{\text{к}}+q_{\text{к}}-1.\tag2
$$
Подставляя это выражение для $p_{\text{к}}$, в (1), получаем: $m_{\text{к}}\le2n_{\text{к}}-q_{\text{к}}-2\le2n_{\text{к}}-2$. Складывая это неравенство с аналогичным неравенством для «синего» разбиения и учитывая, что число $m$ вершин многоугольника $\Pi$ не превосходит $m_{\text{к}}+m_{\text{с}}$ и что $n_{\text{к}}+n_{\text{с}}$, — это число $n$ граней данного многогранника, получим нужную оценку:
$$
m\le m_{\text{к}}+m_{\text{с}}\le2(n_{\text{к}}+n_{\text{с}})-4=2n-4.
$$
Формула (2), по сути дела, эквивалентна известной формуле Эйлера для «плоского графа», составленного из красных рёбер (читателям нашего журнала может быть более знакома формула Эйлера для выпуклого многогранника: $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$, где В, Р и Г — количества его вершин, рёбер и граней) Мы выведем (2), следуя одному из многочисленных доказательств формулы Эйлера.
Подсчитаем двумя путями сумму $\sigma$ всех углов всех многоугольников «красного» разбиения. Сумма углов при вершинах многоугольника $\Pi$ равна $(m-2)\pi$, а сумма углов при $q_{\text{к}}$ «внутренних» вершинах $2q_{\text{к}}\pi$. Следовательно, $\sigma=(m-2+2q_{\text{к}})\pi$. С другой стороны, сложив суммы углов каждого из многоугольников разбиения, т. е. величин вида $(k-2)\pi$, где $k$ — число сторон многоугольника, мы найдём, что $\sigma=(N-2n_{\text{к}})\pi$, где $N$ — сумма чисел сторон всех этих многоугольников, равная $m+2p_{\text{к}}$. Таким образом, $m-2+2q_{\text{к}}=m+2p_{\text{к}}-2n_{\text{к}}$, откуда вытекает (2).
