Задача М891‍‍

Обозначим в данном треугольнике $ABC$‍‍ длины сторон $BC$‍‍ и $CA$‍‍ через $a$‍‍ и $b$‍,‍ длины медиан $AA_1$‍,‍ и $BB_1$‍,‍ — через $m_a$‍‍ и $m_b$‍,‍ точку пересечения медиан — через $M$‍‍ (см. рисунок). Поскольку отрезок медианы от середины стороны до точки пересечения медиан равен её трети, а четырёхугольник $MA_1CB_1$‍,‍ описан около окружности, имеет место равенство $\dfrac{m_a}{3}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{m_b}{3}+\dfrac{a}{2}$‍‍ или $$ m_a+\dfrac{3b}{2}=m_{b}+\dfrac{3a}{2}. \tag{1}$$ Далее, треугольники $AA_1C$‍‍ и $BB_1C$‍‍ имеют одинаковые площади (равные половине площади тpeугольника $ABC$‍)‍ и общую вписанную окружность, поэтому их периметры равны: $m_a+\dfrac a2+b=m_b+\dfrac b2+a$‍,‍ т. е. $$ m_a+\dfrac{b}{2}=m_b+\dfrac{a}{2}. \tag{2}$$ Вычитая равенство (2) из (1), получим $a=b$‍.‍

Отметим, что утверждение задачи справедливо и тогда, когда окружность касается продолжений двух сторон треугольника и двух его медиан.