Задача М890‍‍

Ответ: да, сможет. Укажем один из возможных способов прокладки дорог. Проложим шоссе длиной 1000 км через один из городов страны параллельно стороне квадрата от границы до границы (рис. 1). Отступив от концов этого шоссе на 100 км, отметим на шоссе две точки. Между ними на равном расстоянии 200 км друг от друга расположим ещё 3 точки. Через эти 5 точек проложим 5 дорог, перпендикулярных ранее построенному шоссе и простирающихся от одной границы до другой. Теперь из каждого города проложим шоссе, соединяющее по кратчайшему пути этот город с одной из уже проложенных дорог. Длина каждого такого дополнительного шоссе не более 100 км, а всего таких шоссе не более 50. Следовательно, общая длина всех шоссейных дорог не превосходит $6\cdot1000+50\cdot100=11000~\text{км}$‍.‍

Указанная сеть шоссейных дорог не является кратчайшей. На рисунке 2 приведён пример более рационального расположения шоссейных дорог. Ломаная общей протяжённостью $5\cdot800+4\cdot200=4800~\text{км}$‍‍ дополняется 12 «усиками» длиной $(100\sqrt{2}-100)~\text{км}$‍‍ каждый. Получающаяся при этом сеть шоссейных дорог длиной $4800+12\cdot(100\sqrt{2}-100)=3600+1200\sqrt{2}~\text{км}$‍‍ такова, что, как легко убедиться, расстояние от любой точки квадрата до ближайшего шоссе не превосходит 100 км. Поэтому для того, чтобы соединить 51 город с уже построенной сетью шоссейных дорог, потребуется продолжить большее $51\cdot100=5100~\text{км}$‍‍ дорог. Следовательно, действуя указанным образом, мы должны будем проложить не более $8700+1200\sqrt{2}\lt8700+1800=10500~\text{км}$‍‍ дорог.