Эту задачу схематически можно представить так:
задано преобразование некоторого множества (множества шестёрок чисел; шестёрке $(x_1,\ldots,x_6)$ сопоставляется $(x_2,\ldots,x_6,x_7)$, где $x_7$ — последняя цифра суммы $x_1+\ldots+x_6$; требуется доказать, что повторяя это преобразование, из одной данной «точки» множества (шестёрки $(1,0,1,0,1,0)$) нельзя получить другую (шестёрку $(0,1,0,1,0,1)$). Очень часто такие задачи удаётся решить, найдя инвариант, т. е. величину, не изменяющуюся при заданном преобразовании: достаточно установить, что значения инварианта для двух данных «точек» различны.
В нашем случае такой величиной может служить последняя цифра числа $s(x_1,\ldots,x_6)=2x_1+4x_2+6x_3+8x_4+10x_5+12x_6$. В самом деле, простое вычисление показывает, что разность $s(x_2,\ldots,x_7)-s(x_1,\ldots, x_6)$ (где $x_7$ — последняя цифра $x_1+\ldots+x_6$) равна $10x_7+2(x_7-(x_1+\ldots+x_6))$, т. е. оканчивается нулём. Следовательно, последние цифры чисел $s(x_1,\ldots,x_6)$ и $s(x_2,\ldots,x_7)$ совпадают: указанная нами величина — действительно инвариант. Остаётся проверить, что её значения для заданных в условии шестёрок различны:
$$
s(1,0,1,0,1,0)=18,\quad s(0,1,0,1,0,1)=24.
$$
