На окружности, касающейся сторон угла с вершиной $O$, выбраны две диаметрально противоположные точки $A$ и $B$ (отличные от точек касания). Касательная к окружности в точке $B$ пересекает стороны угла в точках $C$ и $D$, а прямую $OA$ — в точке $E$ (рис. 1). Докажите, что длины отрезков $BC$ и $DE$ равны.
Рис. 1
А. С. Меркурьев
Ленинградская городская математическая олимпиада (50, 1984 год)
Будем считать, что окружность расположена вне треугольника $PCD$ (см. рисунок; второй случай, когда она вписана в этот треугольник, рассматривается аналогично). Пусть $C'$ и $D'$ — точки пересечения сторон угла с касательной к окружности в точке $A$, так что (в рассматриваемом случае) данная окружность вписана в треугольник $PC'D'$. Очевидно, что этот треугольник гомотетичен треугольнику $PCD$ с центром $P$, следовательно, $E$ — точка касания вписанной окружности треугольника $PCD$ со стороной $CD$. Обозначим через $M$, $M'$, $N$ и $N'$ точки касания этих двух окружностей с прямыми $PC$ и $PD$. По теореме о равенстве касательных, проведённых к окружности из одной точки,
$$
2|BC|+|BE|=|BC|+|CE|=|M'C|+|CM|=|M'M|,
$$
аналогично,
$$
2|DE|+|BE|=|N'N|,
$$
но, по той же теореме, $|M'M|=|PM'|-|PM|=|PN'|-|PN| =|N'N|$, поэтому $|BC|=|DE|$, что и требовалось.
