Обозначим через $a_1$, $\ldots$, $a_n$ данные числа, а через
$$
S_n=\dfrac{a_n+a_2}{a_1}+\dfrac{a_1+a_3}{a_2}+\ldots+\dfrac{a_{n-1}+a_1}{a_n}\tag{*}
$$
— рассматриваемую в задаче сумму.
а) Поскольку для любых положительных $x$ и $y$ справедливо неравенство $\dfrac xy+\dfrac yx\ge2$, сумму $S_n$ можно оценить так:
$$
S_n=\left(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_2}\right)+\left(\dfrac{a_3}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}\right)+\ldots+\left(\dfrac{a_1}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}\right)\ge2+2+\ldots+2=2n.
$$
(Это неравенство справедливо для любых положительный чисел $a_1$, $\ldots$, $a_n$.)
б) Неравенство $S_n\ge3n$ докажем индукцией по $n$.
При $n=3$ рассмотрим два случая: 1) все числа равны, 2) среди чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$ есть различные. В первом случае все слагаемые в (*) равны 2 и $S_3=6\lt3\cdot3$. Во втором случае наибольшее из чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$ (пусть им будет $a_1$) строго больше полусуммы двух других $\Big(a_1\gt\dfrac{a_2+a_3}2\Big)$. Тогда число $\dfrac{a_2+a_3}{a_1}$ меньше 2, а так как это число — натуральное, $a_1=a_2+a_3$. Следовательно,
$$
S_3=\dfrac{a_2+a_3}{a_1}+\dfrac{a_3+a_1}{a_2}+\dfrac{a_1+a_2}{a_3}=3+\dfrac{2a_3}{a_2}+\dfrac{2a_2}{a_3},
$$
причём числа $k=\dfrac{2a_3}{a_2}=\dfrac{a_1+a_3}{a_2}-1$ и $l=\dfrac{2a_2}{a_3}$ — натуральные. Учитывая, что $kl=4$, получаем такие варианты: $k=1$, $l=4$ — тогда $a_2=2a_3$ и $S_3=8\lt9$, или $k=2$, $l=2$ — тогда $a_3=a_2$, $S_3=7\lt9$ или $k=4$, $l=1$ и снова $S_3=8\lt9$.
Предположим теперь, что наше неравенство справедливо для $n-1$ чисел и докажем, что $S_n\lt3n$. Если все числа $a_i$ равны, то $S_n=2n\lt3n$. В противном случае возьмём наибольшее из чисел $a_1$, $\ldots$, $a_n$ (если имеется несколько наибольших чисел, выберем то из них, которое строго больше хотя бы одного из своих соседей). Пусть это будет число $a_n$, тогда $a_n\gt\dfrac{a_{n-1}+a_1}2$. Как и выше, отсюда следует, что $a_n=a_{n-1}+a_1$, т. е.
$$
\dfrac{a_{n-2}+a_n}{a_{n-1}}=1+\dfrac{a_{n-2}+a_1}{a_{n-1}},\quad
\dfrac{a_n+a_2}{a_1}=1+\dfrac{a_{n-1}+a_2}{a_1},
$$
причём $\dfrac{a_{n-2}+a_1}{a_{n-1}}$ и $\dfrac{a_{n-1}+a_2}{a_1}$ — натуральные числа. Таким образом, набор $a_1$, $\ldots$, $a_{n-1}$ удовлетворяет условию задачи и для него рассматриваемая сумма $S_{n-1}\lt3(n-1)$. Следовательно, $S_n=S_{n-1}+3\lt3n$.
Из сказанного видно, что при добавлении к набору $a_1$, $\ldots$, $a_n$ числа $a_{n+1}=a_1+a_n$ (между $a_1$ и $a_n$) сумма $S_n$ увеличивается на 3. Отсюда по индукции легко выводится, что сумма $S_n$ может принимать любое нецелое значение $S$ из промежутка $2n\le S\lt3n$.
